Transcript: Aranjamente

Să presupunem că o firmă trebuie să formeze dintr-un grup de 5 persoane, o echipă de management formată din 3 persoane, un manager vânzări, un manager producție și un manager financiar.
Se pune întrebarea în câte moduri putem selecta cei 3 manageri dintr-un grup de 5 persoane.
De exemplu, A ar putea fi manager vânzări, B manager producție și C manager financiar.
Sau C poate fi manager vânzări, A manager producție și B manager financiar.
Să vedem așadar în câte moduri putem forma o echipă de 3 manageri dintr-un grup de 5 persoane.
Dacă cele 3 persoane ar fi A, B și C, atunci ar exista 6 moduri în care cele 3 persoane ar putea fi selectate pentru postul de manager.
Avem așadar o problemă de permutări. Permutări de 3 elemente este egal cu 6.
Cele 6 mulțime ordonate sunt A, B, C, A, C, B și așa mai departe.
Ultima mulțime ordonată este C, B, A.
În total avem permutări de 3 elemente, adică 6 mulțime ordonate ce conțin elementele A, B și C.
Dacă înlocuim persoana C cu D, vom avea următoarele mulțime ordonate formate din 3 elemente, A, B, D.
Și așa mai departe, ultima mulțime ordonată va fi D, B, A.
În total vor fi de asemenea 6 mulțime ordonate formate din elementele A, B și D.
Dacă în locul persoanei D va fi E, atunci obținem mulțimele ordonate de forma A, B, E.
Și așa mai departe, ultima este E, B, A.
Dacă înlocuim acum pe B cu C, vom obține mulțimea ordonată A, C, D.
Și așa mai departe, ultima va fi D, C, A.
Iar dacă înlocuim pe D cu E, se obține A, C, E.
Și așa mai departe, E, C, A.
Dacă înlocuim persoana C cu D, se va obține A, D, E.
Ultima mulțime este E, D, A.
Acum înlocuim pe A cu B, vom obține mulțimea ordonată B, C, D.
Și așa mai departe, D, C, B.
Urmează apoi B, C, E.
E, C, B.
Iar dacă în locului C avem D, vom obține mulțimea ordonată de forma B, D, E.
E, D, B.
Iar la final, ultimele mulțime ordonate vor fi formate din elementele C, D și E.
Avem în total 10 linii, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 și 6 coloane.
În total vom avea 60 de posibilități de a selecta o echipă de management formată din 3 persoane, dintr-un grup de 5 persoane.
Totalitatea somulțimilor ordonate cu 3 elemente ale unei mulțimi cu 5 elemente formează un număr ce se notează astfel și se citește aranjamente de 5 luate câte 3.
Am obținut așadar că aranjamente de 5 luate câte 3 este egal cu 60, iar acest număr poate fi scris sur forma unui produs astfel, 5, ori 4, ori 3.
Încercăm în continuare să exprimăm acest produs cu ajutorul factorialelor folosindu-ne de acești indici, astfel încât să încercăm să intuim o formulă pentru cazul general.
Aranjamente de 5 luate câte 3, am văzut că este egal cu 5, ori 4, ori 3.
Încercăm să obținem aici 5 factorial, din acest motiv vom înmulți acest produs cu 2 ori 1, iar pentru a obține o egalitate adevărată trebuie apoi să împărțim acest produs cu 2 ori 1.
Astfel 2 ori 1 se simplifică și ne rămâne produsul 5, ori 4, ori 3, deci egalitatea este corectă.
La numărător avem 5, ori 4, ori 3, ori 2, ori 1, iar acest produs este egal cu 5 factorial, iar 2, ori 1 este egal cu 2 factorial.
Am reușit așadar să scriem aranjamente de 5 luate câte 3 cu ajutorul factorialelor.
Trebuie acum să vedem ce reprezintă acest număr 2.
2 reprezintă numărul persoanelor care nu fac parte din echipa de menegeri.
Dacă dintr-un grup de 5 persoane alegem doar 3 persoane pentru postul de meneger, atunci vor rămâne 2 persoane în afara echipei.
Așadar acest număr 2 poate fi scris ca o diferență dintre 5 și 3.
Și astfel am reușit să exprimăm aranjamente de 5 luate câte 3 cu ajutorul factorialelor.
Dacă am avea, de exemplu, de calculat aranjamente de 8 luate câte 2, atunci acest număr ar fi egal cu 8 factorial supra 8 minus 2 factorial.
Egal în continuare cu 8 factorial supra 6 factorial.
Exprimăm 8 factorial cu ajutorul lui 6 factorial și obținem 6 factorial ori 7 ori 8 supra 6 factorial.
Se simplifică 6 factorial și ne rămâne 7 ori 8 egal cu 56.
În cazul general, aranjamente de n luate câte k va fi egal cu n factorial supra n minus k factorial.
Unde n este număr natural nenul, k este număr natural, iar k este mai mic sau egal decât n.
Așadar, aranjamente de n luate câte k reprezintă totalitatea submulțimilor ordonate, având fiecare câte k elemente ale unei mulțimi cu n elemente.
În cazul în care k este egal cu 0, obținem aranjamente de n luate câte 0 și vom avea egal conform relație de mai sus cu n factorial supra n minus 0 factorial.
Egal cu n factorial supra n factorial și egal cu 1.
În cazul în care numărul k este egal cu n, obținem aranjamente de n luate câte n, egal cu n factorial supra n minus n factorial, egal cu n factorial supra 0 factorial, egal cu n factorial supra 1 și egal cu n factorial.
De fapt, aranjamente de n luate câte n reprezintă chiar permutările de n elemente.
În continuare, ne propunem să rezolvăm următoarea ecuație.
Aranjamente de n luate câte 4 este egal cu 20 ori aranjamente de n minus 2 luate câte 3.
Trebuie să determinăm valorile numărului n astfel încât această egalitate să aibă loc.
Pentru început, vom pune condițiile de existență pentru această ecuație.
Numărul aranjamente de n luate câte 4 există dacă n este număr natural nenul și n este mai mare sau egal decât 4.
Pentru aranjamente de n minus 2 luate câte 3, vom pune condiția ca n minus 2 să fie mai mare sau egal cu 3.
Acestea sunt condițiile de existență pentru această ecuație.
Din ultima relație se obține n mai mare sau egal decât 5.
N îndeplinește simultan cele 3 condiții dacă și numai dacă n aparține mulțimii formate din elementele 5, 6, 7, 8 și așa mai departe.
Acesta este domeniul de existență pentru această ecuație.
Și acum să trecem la rezolvarea ecuației.
Aranjamente de n luate câte 4 este egal cu n factorial supra n minus 4 factorial egal cu 20 ori n minus 2 factorial supra n minus 2 minus 3, adică n minus 5 factorial.
În continuare, exprimăm n factorial în funcție de n minus 4 factorial pentru că n factorial este mai mare decât n minus 4.
Și vom avea n minus 4 factorial înmulțit cu n minus 3 ori n minus 2 ori n minus 1 ori n, până aici am scris n factorial, supra n minus 4 factorial egal cu 20 ori.
Aici exprimăm n minus 2 factorial cu ajutorul lui n minus 5 factorial, vom avea n minus 5 factorial ori n minus 4 ori n minus 3 ori n minus 2 supra n minus 5 factorial.
Observăm că se simplifică n minus 4 factorial cu n minus 4 factorial și n minus 5 factorial cu n minus 5 factorial.
De asemenea, observăm că în ambii membri ai egalității avem produsul n minus 3 ori n minus 2.
Așadar, putem să împărțim această egalitate cu n minus 3 pe lângă n minus 2 pentru că acest produs este diferit de 0 deoarece n este mai mare sau egal decât 5.
Atâta vreme cât n este mai mare sau egal decât 5, atunci n minus 3 va fi diferit de 0 și n minus 2 va fi diferit de 0.
În consecință, putem să împărțim egalitatea cu acest produs și atunci se va simplifica n minus 3 și n minus 2, iar la final ne rămâne n minus 1 ori n este egal cu 20 pe lângă n minus 4.
Desfacem parantezele, n pătrat minus n este egal cu 20n minus 80.
Obținem următoarea ecuație de gradul al doilea, n pătrat minus 21n plus 80 egal cu 0.
Delta este egal cu 441 minus 320 egal cu 121.
n1 este egal cu 21 plus 11 supra 2 egal cu 32 supra 2 și egal cu 16, iar n2 este egal cu 21 minus 11 pe 2, 10 pe 2 egal cu 5.
Numerele 5 și 16 fac parte din domeniul de definiție, așadar soluția va fi formată din elementele 5 și 16.