Transcript: Adunarea matricelor

Deoarece elementele unei matrice sunt numere, operațiile cu matrice sunt generate de operațiile pe care le putem face cu numere.
Putem vorbi așadar de adunarea matricelor.
Să considerăm două matrice, matricea A de tipul 2-3 cu elemente numere întregi și matricea B, tot de tipul 2-3 cu elemente numere întregi.
Putem să ne imaginăm că cele două matrice reprezintă stocurile de materiale înregistrate în luna ianuarie, matricea A, pentru produsele P1, P2 în depozitele de 1, de 2, respectiv de 3.
În același timp, matricea B reprezintă stocurile de materiale din luna februarie pentru aceleași produse P1 și P2 în același depozite de 1, de 2 și de 3.
Ne dorim să știm ce cantități din produsul P1 avem pe stoc în depozitul de 1 la finalul celor două luni.
Evident, vom aduna numărul 1 cu numărul 2, adică elementul de pe linia 1, coloana 1 din matricea A, respectiv elementul din linia 1, respectiv coloana 1 din matricea B.
Vom proceda în același mod și cu celelalte elemente.
Efectuând calculele, obținem o matrice de tipul 2-3 cu elemente din Z, elemente care sunt 3-3-6-7-0-6, matrice care se numește suma matricelor A și B și o notăm A plus B.
Iar operația prin care am obținut această matrice o numim adunarea matricelor.
Am observat că suma a două matrice se obține din adunarea elementelor aflate pe aceleași poziții în cele două matrice, motiv pentru care nu putem aduna decât matrice de același tip.
Noțiunea de opus a unui număr ne sugerează noțiunea de opusă a unei matrice.
Dată matricea A de tipul 2-3, opusa acesteia este matricea notată minus A, tot de tipul 2-3, în care elementele sunt opusele elementelor matricei A.
Minus 1, minus 2, minus 3, minus 4, 0 și minus 1.
Pentru că adunarea matricelor înseamnă adunarea elementelor corespunzătoare, proprietățile acestei operații se rezumă la proprietățile adunării numelor complexe.
Astfel, adunarea matricelor este asociativă, este comutativă, admite elemente într-o matrice anulă de tipul M,N.
Pentru orice matrice de tipul M,N există o matrice notată minus A și numită matrice opusă de tipul M,N, astfel încât A adunată cu opusa ei le dă matricea nulă de tipul M,N.
Pentru a efectua scăderea să considerăm matricea A de tipul 3,2 și matricea B de tipul 3,2.
Matricea A minus B reprezintă suma dintre matricea A și opusa matricei B, adică matricea 1,5,2, minus 1,3,2 adunată cu matricea minus 3,1, minus 4, minus 2,5,3,
obținând astfel matricea 1, minus 3, 5, plus 1, 2, minus 4, minus 1, minus 2, 3, plus 5, 2, plus 3, adică matricea minus 2, 6, minus 2, minus 3, 8, 5.
Să rezolvăm acum următorul exercițiu. Date 3 matrice A, B și C, determinați numerele reale XYZ, astfel încât matricea A plus matricea B să fie egală cu matricea C.
Conform definiției adunării a două matrice, suma matricelor A și B se obține adunând elementele corespunzătoare din matricea A, respectiv matricea B.
Astfel, elementul A11 adunat cu elementul B11 este egal cu elementul C11. Elementul A11 este 1, elementul B11 este radical din X plus 1, care este egal cu elementul 1.
Deducem de aici că radical din X plus 1 egal cu 0, adică X este egal cu minus 1.
Adunând acum elementul A21 cu elementul B21, obținem elementul C21, adică numărul 2 adunat cu 2 la puterea T este egal cu 4.
2 la T este egal cu 4 minus 2, adică 2.
Cum funcția exponențială este o funcție injectivă, obținem așadar că T este egal cu 1.
Elementul A12 adunat cu elementul B12 este egal cu elementul C12, adică 3 plus logaritm natural din Z este egal cu 2.
Logaritm natural din Z este astfel egal cu 2 minus 3, adică minus 1.
Îl putem scrie pe minus 1 ca logaritm natural din E la puterea minus 1.
În baza injectivității funcției logaritmice, îl deducem pe Z ca fiind egal cu E la puterea minus 1.
Pentru a-l determina pe Y, facem suma A22 adunat cu B22, care este egal cu C22.
Pe elementul A22 este egal cu 5, elementul B22 este Y la 2 minus 3Y, iar elementul C22 este egal cu 3.
Obținem ecuația de gradul al doilea, Y la 2 minus 3Y plus 2 egal cu 0, care are soluțiile Y1 este egal cu 1, respectiv Y2 este egal cu 2.