Transcript: Teorema celor trei perpendiculare

Știm că atunci când reprezentăm în plan un corp geometric, cum este acest cub, măsurile unghiulor nu se păstrează. Iată!
Măsura unghiului DAB este de 90 de grade, deci avem aici un unghi drept, deși pe desen pare că este un unghi ascuțit.
Sau alt exemplu, unghiul A' D C, adică acest unghi este tot un unghi drept, deși pe desen pare obtus.
La fel se întâmplă și cu unghiul C' B A, iată, mă refer la acest unghi.
Tot așa este un unghi care are măsura de 90 de grade, deci avem aici 90 de grade.
Deci și unghiul CBA are 90 de grade, dar și C'BA are 90 de grade.
Însă, aceste lucruri nu sunt evidente pe desen pentru că reprezentăm în plan un corp geometric.
Atunci, cum putem să identificăm pe un asemenea desen unghiurile drepte?
Pentru aceasta folosim teorema celor trei perpendiculare, care ne spune că dacă avem o dreaptă perpendiculară pe un plan,
iată, dreapta D este perpendiculară pe planul alfa și o să luăm pe dreapta D încă un punct, o să avem nevoie de el, să-i spunem ce,
deci dacă avem o dreaptă perpendiculară pe un plan și prin punctul de intersecție al dreptei cu planul, deci prin punctul O,
trece o altă dreaptă care la rândul ei este perpendiculară pe o dreaptă din plan, să o notăm această dreaptă cu B,
această dreaptă să trece în punctul de intersecție A, deci dreapta OA este perpendiculară pe B, trec aici că avem 90 de grade,
atunci dreapta CA este perpendiculară pe dreapta B, deci avem aici 90 de grade și chiar o să trasez această dreaptă CA cu un crăion mai gros, se vadă mai bine.
Prin urmare, ce ne spune teorema celor trei perpendiculare? Ne spune că dacă avem o dreaptă perpendiculară pe un plan,
deci dreapta CO sau dreapta D este perpendiculară pe planul alfa și dreapta OA perpendiculară la rândul ei pe dreapta B,
adică dreaptele OA și B, unde sunt? Sunt incluse în planul alfa, atunci din teorema celor trei perpendiculare,
voi scrie așa și chiar să fac un rezultă mai mare, rezultă că CA este perpendiculară pe B.
E ușor de înțeles de ce se numește teorema celor trei perpendiculare, pentru că avem o perpendiculară, două și încă una, deci trei perpendiculare.
Cum demonstrăm această teoremă? Să trecem aici, demonstrație.
Deci trebuie să arătăm că CA este perpendiculară pe dreapta B, atâta timp cât știm, să vedem ce cunoaștem,
OA este perpendiculară pe dreapta B, și cele două drepte OA și B, deci OA și B, sunt incluse în acest plan alfa.
Cu toate aceste informații trebuie să arătăm că CA este perpendiculară pe B. Vă las puțin timp să vă gândiți.
Ca să arătăm că dreapta B este perpendiculară pe dreapta CA, vom arăta că dreapta B este perpendiculară pe planul COA.
Dacă arătăm acest lucru, atunci cum dreapta CA este inclusă în acest plan, înseamnă că dreapta B este perpendiculară și pe dreapta CA, pentru că, repet, este perpendiculară pe acest plan.
Cum arătăm faptul că dreapta B este perpendiculară pe planul AOC sau COA?
Trebuie să găsim în acest plan două drepte concurente și dreapta B să fie perpendiculară pe fiecare din cele două drepte în parte.
Deja avem o dreaptă OA, dreapta B este perpendiculară pe OA și ne mai trebuie încă o dreaptă concurentă cu OA.
Păi, cum sunt dreptele CO și B?
Sunt perpendiculare, pentru că CO este perpendiculară pe acest plan, deci venim și notăm.
CO, perpendiculară pe planul alfa, dreapta B este inclusă în alfa, iată, se vede și pe desen, observăm și aici, rezultă că dreapta CO este perpendiculară pe dreapta B.
Sau, dacă vreți, pot să scriu chiar invers, dreapta B perpendiculară pe CO.
Bun, avem că dreapta B este perpendiculară pe CO, dreapta B este perpendiculară pe OA, știm din ipoteză, deci B perpendiculară pe OA.
Cele două drepte, CO și OA, sunt drepte concurente, care e punctul lor de intersecție, CO și OA, punctul O, rezultă că dreapta B este perpendiculară pe planul determinat de dreptele CO și OA.
Deci, dreapta B este perpendiculară pe planul determinat de dreptele CO și OA, adică dreapta B este perpendiculară pe planul COA.
Însă, acest plan conține dreapta AC, deci dreapta CA sau AC este inclusă în planul COA, de unde rezultă că avem o dreaptă perpendiculară pe un plan, înseamnă că dreapta B este perpendiculară pe orice dreaptă din plan, deci este perpendiculară și pe CA.
Dreapta B perpendiculară pe CA.
Și s-a încheiat exact ce voiam să arătăm, că dreapta CA e perpendiculară pe dreapta B.
Să revenim acum la primul nostru exemplu și anume la cubul ABCDA'B'C'D'.
Cum arătăm că unghiul A'D C are într-adevăr 90 de grade?
Păi iată, avem aici A'A, care este perpendiculară pe planul ABCD, mai avem că A'D este perpendiculară pe D C, avem aici un unghi de 90 de grade, atunci conform teoremei celor trei perpendiculare, înseamnă că A'D este perpendiculară pe D C, deci avem aici 90 de grade.
Haideți să notăm, deci A'A perpendiculară pe planul ABCD, mai știm că A'D este perpendiculară pe D C, A'D și D C sunt incluse în planul ABCD,
atunci rezultă din teorema celor trei perpendiculare că A'D este perpendiculară pe D C și astfel putem să arătăm sau putem să verificăm dacă într-adevăr un unghi are măsura de 90 de grade.