Transcript: Scoaterea întregilor din fracție. Introducerea întregilor în fracție

Să învățăm acum cum să scoatem întregii din fracție și cum să introducem întregii într-o fracție.
Și vom începe prin a scoate întregii din această fracție, 25 supra 4.
Și haideți să reprezentăm fracția dată cu ajutorul unor desene.
Cum o putem reprezenta?
Păi numitorul este 4.
Asta înseamnă că întregul trebuie să fie împărțit în câte părți? În 4 părți egale.
Bun, însă mai observăm și că fracția este supraunitară, este mai mare decât 1.
Ce ne spune acest lucru? Că vom avea mai mult de un întreg.
Și atunci, haideți să considerăm că întregul este acesta.
Deci avem un pătrat care este împărțit în 4 părți egale.
Și le vom alege pe toate 4.
Ce fracție vom obține?
Păi avem, numitorul este 4, am ales 4 părți, deci fracția 4 supra 4.
Păi mai avem până la 25 pe 4, deci mai adăugăm încă un întreg.
Bun, și acum vom alege tot 4, tot cele 4 părți.
Deci alegem tot întregul și avem din nou 4 supra 4.
Aceste desene împreună, ce fracție reprezintă?
Păi avem 2 întregi egali, fiecare este împărțit în 4 părți egale.
Care este numitorul? Păi numitorul este 4.
Câte părți am ales? Păi avem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, deci numărătorul este 8.
Bun, dar până la 25 pe 4 mai avem, deci vom mai adăuga încă un întreg.
Și tot așa vom alege cele 4 părți, deci avem din nou fracția 4 pe 4.
Cât obținem aici? Păi am ales 4 cu 4 cu încă 4, deci avem fracția 12 pe 4.
Mai avem, mai trecem încă un întreg și tot așa alegem cele 4 părți, deci din nou 4 pe 4.
Am ajuns la, iată avem 4 părți, acâte 4 întregi, deci 16, numărătorul 16.
Mai avem până la 25, mai alegem încă 4, deci din nou notăm fracția 4 supra 4.
Am ajuns la 20 supra 4.
Mai avem nevoie până la 25, din nou așurăm aici.
Și cât am obținut? Din nou 4 pe 4.
Păi în acest moment toate aceste fracții cât reprezintă?
Păi observăm că 4, 4 părți, acâte 5 întregi sau 6 întregi, pardon, 1, 2, 3, 4, 5, 6, deci 6 întregi.
4 părți fiecare înseamnă că avem 24 supra 4.
Și mai avem nevoie de încă o parte până la 25 pe 4, deci mai trecem un întreg.
Și cât vom hașura din acest întreg?
Păi o singură parte, deci avem aici fracția 1 supra 4, deci numitorul este 4.
Haideți să șterg aici, numitorul, cum am spus, este 4, se observă, da?
Și câte părți am ales?
Păi avem 24 toate aceste părți plus una, deci 25 pe 4.
Câți întregi avem?
Păi avem 1, 2, 3, 4, 5, 6 întregi, deci 6 întregi și o pătrime.
Asta înseamnă că fracția 25 supra 4 o putem scrie 6 întregi și o pătrime.
Acum, ce avem aici este o notație care ne arată câți întregi avem.
Făcând acest lucru, spunem că am scos întregii din această fracție.
Cum facem acum mai simplu, ca să nu fie nevoie să facem aceste desene mereu?
Păi, de fapt, ce am făcut?
Am văzut de câte ori intră numărul 4 în 25, pentru că noi am obținut acești întregi, 4 supra 4,
și apoi am vrut să vedem de câte ori numărătorul 4 se cuprinde în 25.
De fapt, am făcut împărțirea cu rest a lui 25 la 4.
Iată, dacă facem împărțirea cu rest,
25 împărțit la 4, vom obține 6 ori 4, 24, și aici restul 1.
Rest 1.
Ce rezultă conform teoremei împărțirii cu rest?
Păi, de împărțitul, adică 25, se scrie ca produsul dintre împărțitor și cât,
deci 4 ori 6, adunat cu restul care este 1.
Bun.
Asta înseamnă că 25 supra 4, fracția, o putem scrie astfel, copiem numitorul 4,
iar la numărător ce scriem?
4 ori 6, care înseamnă 24, plus 1, adică 25.
Am aplicat aici teorema împărțirii cu rest.
Acum poate că o să vi se pară complicat faptul că avem așa de multe operații aici la numărător,
însă eu cred că e destul de simplă explicația care urmează și o puteți înțelege.
Și anume, aici avem operație de înmulțire.
Deci, de fapt, acest calcul este un termen al acestei sume.
Vom separa această fracție în două fracții, într-o sumă de două fracții.
Putem să facem acest lucru și avem așa 4 ori 6, supra 4, e prima fracție, adunat cu 1 pe 4.
Este același lucru cu ce am notat aici.
Ce vom obține? Păi linia de fracții e operație de împărțire.
4 înmulțit cu 6 împărțit la 4, adică 24 împărțit la 4 ne dă 6, deci avem 6 plus 1 pe 4.
Și iată că, de fapt, am obținut că 25 pe 4 reprezintă, de fapt, 6 întregi adunat cu o pătrime, exact ce am făcut și aici.
Și se folosește această notație, deci voi scrie pe egal de la notație, 6 și 1 pe 4, 6 întregi 1 pe 4, adică nu se mai trece acest semn plus.
Însă reținem că aceasta este o notație care reprezintă, de fapt, această operație, 6 plus 1 pe 4, care ne dă 25 supra 4.
Bun, haideți să mai facem acum încă un exemplu ca să ne învățăm cu acest mod de calcul.
30 supra 7. Cum scoatem întregii din această fracție?
Împărțim mai întâi numărătorul la numitor, deci vom avea 30 împărțit la 7, obținem 4 ori 7, 28, deci restul este 2.
Ce rezultă conform teoremei împărțirii cu rest?
Că de împărțitul, adică 30, se scrie ca produsul dintre împărțitor și cât, deci 7 ori 4, adunat cu restul care este 2.
Deci venim aici și notăm. Copiem numitorul care este 7, iar la numărător vom avea 7 ori 4, adică 28 plus 2, deci 30.
Separăm acum această fracție, ca mai sus, într-o sumă de două fracții.
Prima fracție, 7 ori 4, supra 7, adunat cu ce ne-a rămas, 2 pe 7.
Și folosim notația pe care am învățat-o, pentru că iată cât vom avea aici.
28 împărțit la 7 ne dă 4, adunat cu 2 pe 7, deci vom avea 4 întregi și 2 pe 7.
Acum să știți că putem să scriem direct, nu e neapărat nevoie să facem tot acest calcul detaliat.
Și putem să reținem următoarea regulă de calcul, și anume.
Facem împărțirea numărătorului la numitor.
Obținem aici câtul și restul.
Câtul reprezintă numărul de întregi, iată 4 întregi, iar restul va fi 9-ul numărător.
2 ne apare aici la numărător, iar numitorul 7 îl copiem.
Deci haideți să facem un exemplu în care să scriem direct.
24 pe 9, facem împărțirea.
24 împărțit la 9, avem 2 ori 9, 18 și obținem aici 6.
Deci 2, rest 6.
Și vom avea câtul.
Câtul este acesta, este 2, iar restul este 6.
Deci venim și notăm.
Câtul reprezintă numărul de întregi, deci 2 întregi.
Copiem numitorul care este 9, iar restul reprezintă 9-ul numărător, deci 6.
Îl trecem aici.
Dacă făceam calculul detaliat cum am făcut în acest exemplu, obțineam același lucru, 2 întregi și 6 pe 9.
Acum haideți să facem, să spunem așa, operația inversă, adică vom introduce acum întregi în fracție.
Vom porni de la acest exemplu și să vedem cum facem să ajungem la 24 supra 9.
Prin urmare, avem această fracție, 2 întregi și 6 pe 9 și vrem să introducem întregii în fracție.
Păi ce avem aici, ce am spus că este o notație.
Deci ea reprezintă de fapt această operație, 2 întregi adunat cu 6 pe 9.
Deci 2 plus 6 supra 9.
Și acum, 2 întregi îi putem scrie un întreg plus un întreg adunat cu 6 pe 9.
Dar un întreg îl putem scrie astfel, 9 pe 9, pentru că observăm că aici întregul e împărțit în 9 părți egale.
Adunat mai departe cu 9 supra 9.
Și acum facem acest calcul.
Poate unii dintre voi deja știți să adunați fracții care au același numitor.
Se copiază numitorul și adunăm numărătorii.
Dacă nu știm, putem să gândim în felul următor folosindu-ne tot de desene și anume.
Haideți să scriem mai jos.
9 supra 9 îl putem reprezenta prin acest desen și avem aici, trebuie să îl împărțim în 9 părți egale.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Considerăm că sunt părți egale.
Hașurând tot acest întreg, avem fracția 9 supra 9.
Vom face la fel pentru că mai avem nevoie de încă un întreg.
Haideți să copiem și avem următoarea fracție.
Și ne mai trebuie desenul pentru fracția 6 supra 9.
Haideți să împărțim tot în 9 părți și vom alege 6.
Deci 1, 2, 3, 4, 5, 6. Avem 6 supra 9.
Care este numitorul?
Fiecare întreg a fost împărțit în 9 părți egale.
Numitorul este 9.
Și ce obținem la numărător?
Câte părți am ales?
Avem 9 părți.
Mai avem încă 9 părți pe care le alegem adunat cu 6 părți.
Adică exact ce v-am spus când adunăm fracții cu același numitor.
Și vom obține 9 cu 9, 18 cu 6, 20 și 4 supra 9.
Adică exact ce aveam aici.
Evident că putem să facem acest calcul și direct,
fără să fie nevoie să facem așa detaliat.
Și pentru aceasta, haideți să luăm exemplul anterior pe care l-am făcut
și anume, aveam aici 4 întregi și 2 supra 7.
4 întregi și 2 supra 7.
Cum introducem acum întregii în fracție?
Și aici putem să aplicăm următoarea regulă.
Deci în loc să facem așa detaliat, vom nota.
Avem numitorul copie 7, iar la numărător vom obține
Înmulțim întregul cu numitorul, deci 4 ori 7 adunat cu 2.
Și vom obține aici 7, 4 ori 7, 20 și 8 plus 2,
deci ne dă 30 supra 7, adică exact ce aveam mai sus.
Aceasta este varianta scurtă, deci folosim de fapt această regulă.
Sigur, această regulă se datorează faptului că într-o asemenea sumă
aducem fracțiile la același numitor.
Însă acest lucru îl vom învăța ceva mai târziu.
Un alt exemplu.
Haideți să calculăm acum un întreg și 3 supra 8.
Să introducem întregii în fracție.
Copiem numitorul 8.
La numărător înmulțim întregul cu numitorul,
deci avem 1 ori 8 adunat cu 3.
Și cât avem? 8 plus 3 supra 8,
deci am obținut 11 supra 8.
Alt exemplu.
Să considerăm acum că avem 0 întregi și 5 pe 6.
Să vedem ce vom obține.
Folosim regula pe care am învățat-o
și avem numitorul copie.
La numărător înmulțim întregul cu numitorul,
deci 0 ori 6 plus și trecem aici pe 5.
Păi 0 ori 6 ne dă 0 plus 5, adică 5 pe 6.
Păi nu era normal să obținem 5 supra 6?
De ce? Pentru că 0 întregi și 5 pe 6
e același lucru cu 0 adunat cu 5 supra 6.
Aceasta este doar o notație,
deci adunând 0 cu orice număr ne dă numărul respectiv,
adică 5 supra 6, exact ce am obținut și aici.
Ca să reținem, putem să notăm și această regulă.
Și haide să se vadă ce am notat aici.
Atunci când scoatem întregii din fracție,
cum a fost în această situație?
Deci dacă avem a supra b, o fracție,
facem a împărțit la b și vom obține un cât și un rest notat r.
De împărțitul a se scrie ca fiind produsul dintre împărțitor și cât,
deci avem b ori c plus r.
Venim și notăm, copiem numitorul,
iar în loc de a vom scrie b ori c, b ori c plus r.
Și ce vom obține?
Putem să scriem direct, fără să mai facem acest calcul,
câtul reprezintă întregul, deci avem c întregi,
copiem numitorul care este b,
iar restul reprezintă noul numărător,
adică exact ce avem aici.
Invers, dacă vrem să introducem întregii într-o fracție,
dacă ni se da această fracție c întregi și r supra b,
folosim aceleași litere,
ce vom avea?
Păi, cum am spus, este o notație
și vom obține conform calculului pe care le-am învățat,
iată aici, la acest exemplu.
Scriem numitorul b,
iar la numărător înmulțim întregul cu numitorul,
deci avem c ori b și adunăm restul, adică r.
Păi nu e același lucru ca mai sus?
Ba da, iată, avem aici c ori b,
adică b ori c plus r, totul supra b,
exact ce avem aici.
Deci, a introduce întregii într-o fracție
e, să spunem așa, operația inversă
scoaterii întregilor din fracție
și ne dă, ca mai sus, a pe b.
Nu e neapărat nevoie să rețineți aceste formule,
să le spunem așa, aceste reguli de calcul, mai bine zis,
ci făcând suficient de multe exerciții
în care să fie nevoie să scoateți întregii dintr-o fracție
sau să introduceți întregii în fracție,
atunci deja o să stăpâniți foarte bine aceste reguli de calcul.