Transcript: Plane perpendiculare

Într-o secvență anterioară am discutat despre unghiul format de două plane.
Ce credeți că înțelegem prin plane perpendiculare?
Păi două plane sunt perpendiculare, iată, planul alfa este perpendicular pe planul beta,
dacă unul dintre diedrele determinate de aceste două plane are măsura de 90 de grade.
Și iată, acest diedru care se vede aici are într-adevăr 90 de grade,
dreapta e perpendiculară pe dreapta B, deci putem să trecem aici că avem 90 de grade.
Planele alfa și beta sunt plane perpendiculare.
Acum, cum arătăm că două plane sunt perpendiculare?
Dacă e dificil să arătăm acest lucru folosind definiția, adică exact ce am spus aici,
atunci putem să folosim această teoremă.
Două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă unul dintre plane conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan.
Deci, planele alfa și beta sunt perpendiculare dacă și numai dacă unul din cele două plane conține o dreaptă
care să fie perpendiculară pe celălalt plan, în situația dată aici.
Avem dreapta A perpendiculară pe alfa, deci dreapta A perpendiculară pe acest plan.
Dreapta A este inclusă în planul beta, se vede pe desen.
Atunci, conform acestei teoreme, rezultă că planul beta este perpendicular pe alfa.
Beta perpendicular pe alfa.
Însă, atenție! Această relație are loc și invers.
Deci, dacă planul beta e perpendicular pe planul alfa, atunci rezultă că există o dreaptă inclusă în beta
și dreapta respectivă e perpendiculară pe planul alfa.
Haideți să aplicăm acum această teoremă în exerciții.
Deci, o recitesc, două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă unul dintre plane conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan.
Bun, și să vedem primul exercițiu.
Să arătăm că planele ABC și DCC' sunt perpendiculare.
Avem aici ABC, care e același cu planul ABCD, deci vorbim de acest plan,
și de planul DCC' care e același cu DCC'D'.
Deci, de acest plan. Haideți să facem cu altă culoare.
Bun, trebuie să arătăm că aceste două plane sunt cum?
Sunt perpendiculare.
Păi, ce avem de făcut?
Trebuie să arătăm că unul din cele două plane conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan.
Păi, e foarte simplu.
De exemplu, putem să alegem fie C'C care e perpendiculară pe ABCD
sau putem să alegem D'D, la fel, și ea e perpendiculară pe planul de la bază
sau putem să alegem BC care e perpendiculară pe acest plan
sau AD, la fel, e perpendiculară pe DCC'D'.
Deci, avem mai multe variante.
Dacă alegem prima variantă, C'C, perpendiculară pe acest plan,
deci C'C, perpendiculară pe planul ABC,
sau ABCD, putem să-l numim și așa,
C'C este inclusă în acest plan,
deci C'C este inclusă în planul DCC'.
Păi, conform teoremei, rezultă că acest plan este perpendicular pe acesta.
Deci rezultă că planul DCC' este perpendicular pe ABC.
Și e foarte simplu.
Am arătat folosind această teoremă că cele două plane sunt perpendiculare.
Cum am făcut asta?
Am găsit o dreaptă inclusă într-un plan care să fie perpendiculară pe celălalt plan.
În următorul exercițiu, ni se dă SABCD, o piramidă patrulateră regulată.
Ce înseamnă asta?
Înseamnă că baza este pătrat, deci ABCD e pătrat,
iar muchiile SA, SB, SC și SD sunt congruente.
Să arătăm că planele SAC și SDB sunt perpendiculare.
Ideea de rezolvare este asemănătoare cu cea folosită înainte,
deci trebuie să folosim teorema învățată.
Trebuie să găsim o dreaptă inclusă în unul din cele două plane
și dreapta respectivă să fie perpendiculară pe celălalt plan.
Având aceste plane SAC și SDB,
ce dreaptă să alegem dintr-un plan care să fie perpendiculară pe celălalt plan?
Putem să folosim, de exemplu, dreapta AC.
Cum este AC față de DB?
Ele sunt perpendiculare pentru că AC și DB sunt diagonale în pătrat,
deci putem să trecem aici ca avem un unghi de 90 de grade.
Venim și notăm că ABCD este pătrat.
Și atunci ce rezultă?
Că AC este perpendicular pe DB.
Bun. Ce vrem să facem?
Am vrea să arătăm că AC este perpendiculară pe SDB, pe acest plan,
sau poate reușim să arătăm că DB este perpendiculară pe planul SAC.
Oricare variantă este bună.
Haideți să ne uităm puțin la înălțimea SO.
De ce am spus înălțime?
O este centrul bazei într-o piramidă patrulateră regulată.
Dacă unim vârful piramidei cu centrul bazei, atunci vom obține înălțimea în piramida respectivă.
SO este înălțime în această piramidă,
deci este perpendiculară pe planul bazei, ABCD.
Păi dacă SO este perpendiculară pe acest plan,
cum AC este inclusă în planul bazei,
AC este inclusă în ABCD,
ce rezultă?
Că SO este perpendiculară chiar pe AC.
Pentru că avem, iată, o dreaptă perpendiculară pe un plan,
înseamnă că este perpendiculară pe orice dreaptă din planul respectiv.
Păi ce am obținut? Ia să vedem.
Avem așa că AC este perpendiculară pe DB,
deci AC este perpendiculară pe DB,
și AC, iată aici, este perpendiculară și pe SO.
Și chiar o să trec aici că avem 90 de grade.
Cum sunt dreptele DB și SO?
Păi sunt drepte concurente în punctul O.
DB intersectează SO în punctul O
și noi avem că dreapta AC este perpendiculară pe două drepte concurente.
AC este perpendiculară pe aceste două drepte concurente.
Ce rezultă de aici?
Că dreapta AC este perpendiculară pe planul determinat de cele două drepte.
Deci rezultă că AC este perpendiculară pe planul determinat de dreptele DB și SO.
Care e planul determinat de DB și SO?
Chiar acesta de SB.
Deci rezultă mai departe că AC este perpendiculară pe planul de SB.
Bun. Haideți să mutăm această relație.
O voi scrie aici.
Pentru că nu mai avem decât un pas.
Iată, am găsit că AC este perpendiculară pe acest plan.
AC este inclusă în planul SAC.
AC inclusă în planul SAC.
Conform teoremei pe care tocmai am învățat-o, deci aici avem inclus,
rezultă că acest plan este perpendicular pe acesta.
Deci planul SAC, adică acesta este perpendicular pe DSB sau SDB.
Și s-a încheiat.