Noţiunea de grup

Definiţii. Fie G o mulţime nevidă şi \(\ast\) o lege de compoziţie pe G.
1. Perechea \(\left (G,\ast \right )\) se numeşte grup, dacă au loc următoarele axiome:

• Legea \(\ast\) este asociativă: \(\left ( x\ast y \right )\ast z= x\ast \left ( y\ast z \right ),\forall x,y,z\in G\)
• Legea \(\ast\) are element neutru: \(\exists e\in G\) astfel încât \(x\ast e= e\ast x= x,\forall x\in G\)
• Orice element din G este simetrizabil: \(\forall x\in G,\exists x'\in G\) astfel încât \(x\ast x'= x'\ast x= e\).

2. Grupul \(\left (G,\ast \right )\) se numeşte comutativ sau abelian, dacă în plus, are loc următoarea axiomă:

• Legea \(\ast\) este comutativă: \(x\ast y= y\ast x,\forall x,y\in G\).

3. Un grup \(\left (G,\ast \right )\) se numeşte grup finit, dacă mulţimea G este finită.În caz contrar, grupul se numeşte infinit.
4. Fie \(\left (G,\ast \right )\) un grup. Prin ordinul grupului G, înţelegem cardinalul mulţimii G şi se notează \(ord(G)\) sau \(\left |G \right |\).