Morfisme şi izomorfisme de grupuri

Definiţii. Fie \(\left ( G,\circ \right ),\left ( G',\ast \right )\) două grupuri.

• O funcţie \(f:G\rightarrow G'\) se numeşte morfism de grupuri dacă \(f(x\circ y)= f(x)\ast f(y),\forall x,y\in G.\)
• O funcţie \(f:G\rightarrow G'\) se numeşte izomorfism de grupuri dacă \(f\) este morfism şi \(f\) este bijectivă.
• Grupurile \(\left ( G,\circ \right ),\left ( G',\ast \right )\) se numesc grupuri izomorfe dacă între ele există cel puţin un izomorfism de grupuri. Notaţie: \(G\simeq G'\).

Teoremă. Fie \(\left ( G,\cdot \right ),\left ( G',\cdot \right )\) două grupuri cu elementele neutre \(e,e'\) şi \(f:G\rightarrow G'\) un morfism de grupuri. Atunci:

• \(f(e)= e'\)
• \(f(x^{-1})= \left ( f(x) \right )^{-1},\forall x\in G\)
• \(f(x^{n})= \left ( f(x) \right )^{n},\forall x\in G,\forall n\in \mathbb{Z}\).

Teoremă. Compunerea a două morfisme de grupuri este tot un morfism de grupuri.
Definiţii. Fie \(\left ( G,\cdot \right )\) un grup. 

• Un morfism \(f:G\rightarrow G\) se numeşte endomorfism al grupului G.
• Un izomorfism \(f:G\rightarrow G\) se numeşte automorfism al grupului G.