Drepte paralele

Drepte paralele

În geometrie, paralelismul se referă la o proprietate relațională, în cadrul unui spațiu euclidian, a două sau mai multe subspații (de exemplu drepte sau plane). Presupusa existență și proprietățile dreptelor paralele formează baza axiomei paralelelor a lui Euclid. Două drepte într-un plan care nu se pot intersecta se numesc drepte paralele. Analog, într-un spațiu tridimensional, o dreaptă și un plan sau două plane pot fi paralele; în general, într-un spațiu euclidian n-dimensional, un spațiu m-dimensional și un spațiu n−1-dimensional (cu m ≤ n − 1) sunt paralele dacă nu au vectori în comun.

În spații neeuclidiene, dreptele paralele sunt cele care se intersectează doar la limită la infinit.

Simbolul pentru paralelism este ∥. De exemplu, AB ∥ CD arată că dreapta AB este paralelă cu dreapta CD.

Date fiind dreptele l și m, următoarele descrieri pentru m o definesc echivalent ca paralelă la dreapta l într-un spațiu euclidian:

Toate punctele de pe dreapta m se află la exact aceeași distanță minimă de dreapta l (drepte echidistante).
Dreapta m se află în același plan ca dreapta l dar nu se intersectează cu l (chiar și presupunând că dreptele se extind până la infinit în ambele direcții).
Dreptele m și l sunt intersectate de o a treia dreaptă (o secantă) din același plan, iar unghiurile corespunzătoare intersecției cu secanta sunt egale. (Această afirmație este echivalentă cu axioma paralelelor a lui Euclid.)
Cu alte cuvinte, dreptele paralele trebuie să se afle în același plan, iar planele paralele trebuie să se afle în același spațiu tridimensional. O dreaptă poate fi paralelă cu un plan în același spațiu tridimensional.


Construcție

Cele trei definiții de mai sus duc la trei metode diferite de construire a dreptelor paralele.




O altă definiție a dreptelor paralele utilizată frecvent este aceea că două drepte sunt paralele dacă nu se intersectează, dar aceasta este valabilă doar într-un spațiu bidimensional.
 

Dreptele paralele sunt dreptele situate în același plan și care nu au nici un punct comun.

$a\cap b=\varnothing \Rightarrow a\parallel b$

Drepte paralele intersectate de o secantă

Teoremă. Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă ele formează cu orice secantă:

• unghiuri alterne-interne congruente
• unghiuri alterne-externe congruente
• unghiuri corespondente congruente
• unghiuri interne (de aceeași parte a secantei) suplementare
• unghiuri externe (de aceeași parte a secantei) suplementare.

$$\begin{gathered} \hat{3}\equiv \hat{5}, \hat{4}\equiv \hat{6} (alt. int.) \\ \hat{1}\equiv \hat{7}, \hat{2}\equiv \hat{8} (alt.ext.) \\ \hat{2}\equiv \hat{6}, \hat{3}\equiv \hat{7}, \hat{1}\equiv \hat{5}, \hat{4}\equiv \hat{8} (coresp.) \\ m\left(\hat{3}\right)+m\left(\hat{6}\right)=180°, m\left(\hat{4}\right)+m\left(\hat{5}\right)=180° \left(interne\right) \\ m\left(\hat{2}\right)+m\left(\hat{7}\right)=180°, m\left(\hat{1}\right)+m\left(\hat{8}\right)=180° \left(externe\right). \end{gathered}$$

 

Consecință. Pentru a demonstra că două drepte sunt paralele, arătăm că ele formează cu o secantă:

• unghiuri alterne-interne congruente, sau
• unghiuri alterne-externe congruente, sau
• unghiuri corespondente congruente, sau
• unghiuri interne (de aceeași parte a secantei) suplementare, sau
• unghiuri externe (de aceeași parte a secantei) suplementare.