Rezonanţa circuitelor RLC: frecvenţa de rezonanţă, factorul de calitate.

În cea de-a noua lecție, despre curentul alternativ, vom discuta despre rezonanța circuitelor RLG.

Un circuit ce conține reactanțe, are ori XL, ori XC, ori amândouă diferite de zero, se află la rezonanță dacă curentul e în fază cu tensiunea.

În notația din lecția trecută, defazajul dintre curentul total și tensiunea totală din circuit este identic zero.

Asta în condițiile în care avem reactanțe în circuit.

Dacă scriem pentru circuitul RLC serie formula acestui defazaj dintre tensiune și curent și îl punem egal cu zero,

acest defazaj, sau mai exact tangenta lui, obținem această ecuație.

Dacă facem același lucru într-un circuit RLC paralel, adică luăm formula pentru tangenta defazajului dintre tensiune și curent,

și punem valoarea e egală cu zero, obținem această ecuație.

Ambele ecuații au fost deduse în lecția precedentă.

Uitându-ne la ele, ambele ecuații sunt satisfăcute, deci avem o valoare zero, dacă XL este egal cu XC,

dacă reactanța inductivă este egală cu reactanța capacitivă din circuit.

Aceasta devine condiția pentru rezonanță într-un circuit serie sau paralel,

și în general într-un orice tip de circuit.

Vă aduc aminte că XL era definit ca omega L,

iar XC era definit ca 1 pe omega C.

Din aceste definiții ale reactanțelor și această condiție de rezonanță,

obținem expresia pulsății curentului alternativ pentru rezonanță.

Deci avem această egalitate când pulsăția curentului alternativ din circuit este egală cu 1 pe radical din L or C.

Să studiem un pic ce se întâmplă cu impedanța circuitului Z în acest caz.

Vă aduc aminte că impedanța circuitului serie era egală cu

R pătrat plus XL minus XC la pătrat,

iar impedanța circuitului paralel ZP era egală cu 1

împărțit la radical din 1 pe R pătrat plus 1 pe XL minus 1 pe XC la pătrat.

Dacă alegem valori pentru parametrii L, C și R

și atunci aceste impedanțe vor fi funcție numai de frecvență,

obținem următorul grafic.

Deci ce vedeți în acest grafic?

În albastru este impedanța serie a unui circuit RLC serie,

pentru care rezistența a fost fixată la 2 ohmi,

L a fost fixat la 1 henry și C capacitatea a fost fixată la 1 farad.

Deci singura variabilă care rămâne în formula pentru Z este omega.

Și atunci reprezentăm Z ca funcție de omega.

Și observăm că în el are un minim, Z serie are un minim,

pentru o valoare a lui omega de 1 Hz.

Aceasta este motivul pentru care am ales L și C 1,

pentru că dacă înlocuim L și C egal cu 1,

obținem frecvența sau pulsația de rezonanță egal cu 1 Hz.

Și într-adevăr, la 1 Hz obținem un minim al impedanței în serie.

Valoarea impedanței minime a circuitului serie este egal cu 2,

adică este egală cu valoarea rezistenței, cu 2 ohmi.

Și într-adevăr, când X e legal cu XC,

Z serie ar trebui și este să fie egal cu 2 ohmi, care este rezistența.

Dacă facem exact același lucru pentru impedanța în paralel,

adică fixăm R, L și C și rămâne numai omega ca variabilă,

observăm în graficul cu verde

că impedanța în paralel are un maxim,

este comportarea inversă,

are un maxim la pulsația de rezonanță,

care este 1 Hz pentru L egal cu 1 și C egal cu 1.

Și la această frecvență sau pulsație de rezonanță

obținem o valoare a impedanței în paralel

egală cu 2 ohmi, adică egală cu valoarea rezistenței.

Într-adevăr, dacă X e legal cu XC,

atunci ZP va fi egal cu R.

Dar acesta va fi un maxim și nu un minim al impedanței

în cazul circuitului paralel.

În concluzie, într-un circuit RLC serie la rezonanță

obținem un minim al impedanței,

care este egal cu rezistența.

În concluzie, curentul,

care în general este U împărțit la Z,

la impedanță, atinge un maxim

și acest maxim este egal cu U supra R,

tensiunea totală împărțită la rezistența

circuitului RLC serie.

În cazul circuitului RLC paralel, la rezonanță,

impedanța atinge un maxim,

care este egal cu R.

Și în acest caz, intensitatea curentului,

care este din nou U supra Z,

tensiunea totală împărțită la impedanță,

va avea un minim,

care va fi egal cu U împărțit la R.

Să continuăm studiul

proprietăților circuitelor RLC

la rezonanță

prin introducerea așa-numitului

factor de calitate.

Ce este acest factor de calitate?

Să ne uităm un pic la diagrama fazorială

a unui circuit RLC serie la rezonanță.

Am făcut diagrama fazorială

a acestor circuite de tip RLC

în lecția precedentă.

Deci, avem un circuit RLC serie la rezonanță,

ceea ce, după cum am descris,

înseamnă, prin definiție,

că defazajul este 0

și ca și defazajul dintre intensitatea totală

și curentul total.

Și ca și consecință,

pulsația va avea o valoare fixă

care este această pulsație de rezonanță

1 pe radical din RLC.

Dacă ne uităm la diagrama fazorială

a unui circuit RLC serie,

vedem că acest defazaj

dintre intensitatea totală

și curentul total

este egal cu 0

într-o condiție foarte specială

de funcționarea circuitului.

Mai exact, când Φ este egal cu 0,

putem vedea că UL

va fi egal cu UC,

adică tensiunea pe bobină

va fi egală cu tensiunea pe condensator,

iar U, tensiunea totală,

devine paralelă cu I și cu UR

și deci U va deveni

egal cu UR.

Vă reamintesc că, în general,

pentru un circuit RLC serie general,

avem următoarea ecuație

U este egal cu UR

plus UL plus UC.

Aceasta este relația generală.

Dar în cazul unei rezonanțe

în care Φ este egal cu 0,

deci U se aliniază cu UR,

avem situația foarte specială

că U devine egal cu UR,

iar UL devine egal în magnitudine,

dar de semn contrar,

cu UC.

Deci avem o decuplare

a tensiunii totale

de tensiunea pe bobină și condensator.

Ele devin separate,

ca și cum n-ar mai fi în același circuit.

Bineînțeles, ele sunt în același circuit.

O concluzie este că

UL, care este egal cu UC,

poate fi mai mare decât

tensiunea totală,

pentru că ele nu mai sunt legate

prin aceeași ecuație.

Mecanismul prin care se poate întâmpla asta

este că circuitul oscilant

bobină-condensator

înmagazinează energie

în timp de la sursă,

și în felul acesta

poate avea

o mărime mai mare

decât cea a tensiunii.

Dar oricum, din aceste două ecuații,

o concluzie este că, în principiu,

putem avea o tensiune mai mare

pe bobină și condensator

decât tensiunea totală,

cea furnizată de sursă, U.

Factorul de calitate

descrie exact această situație.

Factorul de calitate,

sau de supra-tensiune,

pentru un circuit serie,

este definit ca raportul

dintre tensiunea pe bobină

și tensiunea totală

în condiții

de rezonanță.

Bineînțeles, el poate fi definit

și ca UC împărțit la UL,

pentru că UL este egal cu UC

la rezonanță.

Dacă înlocuim valorile

UL va fi

I or XL,

dar I este același

cu cel de la

numitor,

U fiind IR.

Deci I se simplifică,

poate ar trebui să scriu,

deci obținem I

omega 0 L împărțit la IR

și I se simplifică.

În concluzie, factorul de calitate

în

RLC serie

este omega 0 L împărțit la R.

Putem să facem ultimul pas

înlocuind ecuația pentru

omega 0, care este 1 pe radical

din LC și obținem că

factorul de calitate este 1 pe R radical

din LPC. În concluzie,

dacă avem un circuit

RLC serie, a cărui

pulsație este

egal cu 1 pe radical din

LC, adică este la rezonanță

și acest factor de calitate,

adică această combinație de

parametrii RL și C, este

mai mare decât 1, ne aflăm

în regim

de supra-tensiune, adică

tensiunea pe bobină

și condensator

tensiunile pe bobină și condensator

sunt egale și amândouă

mai mari decât tensiunea sursei.

Foarte similar se face

discuția în cazul circuitului

RLC paralel.

Avem aceeași condiție ca defazajul

dintre tensiune și curent să fie

0. Nu mai desenez încă

o dată diagrama fazorială

pentru RLC paralel.

O aveți în lecția trecută.

Consecința este

absolut identică

ca cea pentru RLC serie

cu condiția că discutăm despre

curenții în loc de

tensiuni. Vă aduc aminte că

în cazul unui

circuit RLC paralel

ecuația de bază generală

era că I este egal cu

IR plus

IL plus IC.

Și la fel

în cazul în care

Fi este egal cu 0

cele două părți ale acestei ecuații

se decuplează. Deci decuplăm

bobina

și condensatorul de

sursă și rezistor.

Și avem că IL plus IC

egal cu 0, adică au aceeași magnitudine

semn opus

sau sens opus.

Iar I este egal cu IR.

La fel

IL este egal

cu IC și poate depăși

I. Nu mai leagă nicio ecuație

IL și IC de I

direct. Deci

introducem factorul de calitate

care în cazul circuitului paralel

se numește de supra-curent

nu de supra-tensiune, ci supra-curent

în acest caz

al curentului RLC paralel

dacă acest factor de calitate

definit ca raportul dintre

IL și I

la frecvența de rezonanță

și egal cu

această valoare

dacă acest

factor de calitate este

mai mare decât 1, atunci

avem situația particulară

în care intensitatea curentului

de pe bobină și intensitatea

curentului de pe condensator sunt

egale și ambele mai mari

decât intensitatea totală a curentului

din circuit.

Haideți să discutăm

despre interpretarea energetică

a fenomenului

de rezonanță într-un circuit RLC.

Pentru aceasta să calculăm

energiile pe

diferitele componente

și apoi energia totală din circuit.

Energia

magnetică este

energia înmagazinată în bobină

deci discutăm aici

despre energia din bobină

și ea este egală cu 1

pe 2L IL pătrat

unde IL este

valoarea momentană

a curentului prin bobină

pe care o scriem explicit și are această ecuație.

Pe condensator avem

o energie electrică

care este egală cu 1 pe 2

capacitatea

condensatorului mulțită cu

tensiunea momentană pe

condensator la pătrat.

Aceasta poate fi scrisă

în această formă unde

am scris explicit UM

deci

UM

pe condensator

este egal cu

IM înmulțit cu

XC. Prin definiția

lui XC reactanța

capacitivă.

Argumentul funcției

sinus ce descrie UC

tensiunea pe condensator

va avea aceeași

fază totală

omega T minus phi

dar defazată în spate cu pi pe 2

deoarece tensiunea

pe condensator

este în spate cu 90 de grad

de față de intensitatea prin

condensator. Bineînțeles prin aceasta

implicăm că ne aflăm într-un

circuit RLC serie

adică

intensitatea de pe condensator este egală

cu intensitatea de pe bobină

și atunci defazajul

dintre aceste două funcții

sinusoidale va fi de minus

pi pe 2.

Folosim apoi

pentru a scrie

ecuația finală identitatea

trigonometrică sinus de alfa

minus pi pe 2 este cosinus de alfa

deci acest minus pi pe 2

dispare dacă transformăm

sinus în cosinus.

În cazul unui circuit

aflat la rezonanță

până acum nu am discutat despre

rezonanța, acestea sunt ecuații generale.

Totuși la rezonanță

putem demonstra

că aceste valori

maxime ale

energiilor magnetice și electrice

sunt egale. Să vedem de ce.

Deci putem

scrie cxc

pătrat egal

cu c1p omega

la pătrat c pătrat, aceasta este

definiția lui xc, iar

în cazul rezonanței omega va fi

egal cu omega zero

care este egal cu 1p

radical din lc.

Deci în cazul rezonanței

putem scrie mai departe

că cxc pătrat este

egal cu l, adică

aceste două

mărimi sunt egale.

În consecință

în acest caz, dacă scriem

energia electromagnetică

care este suma

dintre energia electrică și energia

magnetică din circuitul rlc

obținem

un w0, prin care

prin w0 am notat această

valoare maximă a energiei, care

e comună, deci am definit

1p2

li m pătrat

și ea va

fi aceeași pentru ambele tipuri

de energie. Deci avem w0 sin

la pătrat de omega t-fi

plus același w0 cos

la pătrat de omega t-fi

sin pătrat

plus cos pătrat de același unghi

este 1, este o identitate

trigonometrică, deci obținem că

w e

energie electromagnetică este

egală cu această constantă

și este constantă în circuit.

Haideți să reprezentăm grafic

această funcție.

Deci dacă reprezentăm grafic

w e

în culoarea albastră

w m în

culoarea verde și w

e m pentru culoarea

roșie, în care pentru simplitate

simplitate a

graficului am luat această

valoare egală cu 1, deci vrem să

vedem numai variația

cu unghiul sau cu

argumentul omega t, cu faza

omega t.

Și atunci am luat w0 egal cu 1.

Atunci vedem că

variația cu

faza a energiei

electrice este

acest

sinus la pătrat,

a energiei magnetice este acest

cosinus la pătrat,

iar suma lor este 1.

Deci ceea ce observăm

și ce concluzie tragem este că

la rezonanță, energia electromagnetică

totală

oscilează între bobină

și condensator, adică

pe măsură ce energia magnetică

scade, ceea electrică

crește cu aceiași cantitate

și invers.

Deci alternează între o

formă electrică și una magnetică

având o sumă constantă.

Deci pur și simplu, bobina și

condensatorul la rezonanță

își schimbă între ele

energie, suma totală

fiind constantă.

Acest fenomen de rezonanță

are foarte multe aplicații practice,

una dintre cele mai cunoscute

fiind antenele.

Deci antenele

electromagnetice, antenele radio,

antenele TV

folosesc în marea lor majoritate

fenomenul de rezonanță

a

undelor și circuitelor electromagnetici.