Relaţia de Broglie. Difracţia electronilor. Legea Bragg.

În cea de-a patra lecție de fizică cuantică vom extinde noțiunea de dualism undă-corpuscul la cazul particulelor elementare

și anume vom discuta de ipoteza de Broglie și despre confirmarea ei experimentală în experimente de difracție a electronelor.

Până acum în lecțiile precedente de fizică cuantică am văzut cum Planck și Einstein pe latura teoretică și Hertz și Compton pe latura experimentală

au demonstrat că radiație electromagnetică are pe lângă o comportare ondulatorie și un acorpuscular.

Comportarea ondulatorie se vede în fenomene de tip interferență, difracție, polarizare și așa mai departe,

iar cea corpusculară în experimente de tip efect fotoelectric extern sau efect Compton.

Aceasta a fost un pas imens în apariția domeniului fizicii numit fizică cuantică,

totuși el era incomplet pentru că fizica în general nu se referă bineînțeles numai la electromagnetism,

adică la radiații electromagnetice, ci și la orice tip de particule precum atomii, electronii și așa mai departe.

Deci trebuia pentru a avea o teoria fizică cuantică complete inclusă cumva în această nouă area fizică

și trebuiau incluse și celelalte particuli.

De Broglie a făcut acest pas mare lăsând următoarea ipoteză, pur și simplu că și particulele,

adică electronii, atomii, molecule, dar chiar și mai mult sistemele fizice macroscopice,

au pe lângă comportarea corpusculară și una ondulatorii.

Bineînțeles, această ipoteză foarte îndrăsneață.

Asta însemna că orice corp din natură are o undă asociată lui și că poate fi descrisă comportarea lui pe baze ondulatorii.

Haideți să vedem cum se verifică practic și cum cere iese din această ipoteză.

În primul rând, trebuie făcută o legătură între cele două naturi ale sistemelor fizice,

iar ea se face pe baza următoarelor ecuații.

Deci prima ecuație, care se numește și ecuația pentru lungimea de undă de broi a unei particule de impuls P,

spune că lungimea de undă a undei asociate unei particule este egală cu raportul dintre constanta Planck-H și impulsul particului,

care poate fi scris și ca H împărțit la MV.

Această ecuație în sine nu era nouă, pentru că pentru foton Einstein a demonstrat că energia E care este egal cu Hν conformă ipotezei Planck

este de asemenea egală cu produsul dintre impulsul fotonului și viteza luminii în vid.

De aici putem scrie imediat că C împărțit la ν este egal cu H împărțit la P,

de unde rezultă că pentru orice foton avem λ egal cu H împărțit la P.

Deci în sine această ecuație nu era nouă.

La fel și cea de-a doua ecuație de legătură dintre o undă și o particulă,

și anume că frecvența unde e asociată unei particule de energie E este egală cu raportul dintre constanta Planck și energia particulei.

La fel, această ecuație este ecuația Planck, ecuația de la bază a ipotezei Planck,

și anume că coanta de energie are energia H or ν.

Deci aceste ecuații nu sunt noi.

Ce este nou este domeniul de aplicabilitate pe care De Broglie l-a definit,

și anume că dintr-o dată, începând cu De Broglie,

nu mai aplicăm aceste două ecuații doar pentru fotoni și radiații electromagnetice,

ci și pentru orice sistem fizic, atât microscopic cât și macroscopic,

adică electrone, atom, molecule, dar în principiu și mașina dumneavoastră are o undă asociată ei

care va avea lungimea de undă și frecvența legată de impulsuri și energia cinetică a mașinii prin aceste ecuații.

Deci, într-adevăr, o ipoteză foarte îndrăsneață.

Haideți întâi să vedem de ce, dacă orice corp are o undă,

noi nu vedem o comportare ondulatorie a corpulor din jurul nostru.

Deci să considerăm următoarele două exemple particulares.

În primul rând, să considerăm un corp microscopic, adică o particulă elementară în cazul acesta,

deci un electron care este accelerat pentru a fi pus în mișcare de o diferență de potențial relativ mică, 100V.

Și atunci să calculăm lungimea de undă asociată acestui sistem fizic microscopic în mișcare, electronul accelerat.

Deci plecăm de la următoarea ecuație.

Variația energiei cinetice este egală cu lucrul mecanic.

Pentru o diferență de potențial mică, precum aceasta, energia cinetică a electronului este nerelativistă.

Ea poate fi scrisă cu formula clasică, mV pătrat împărțit la 2.

Minus 0 ΔEC ar fi minus energia cinetică inițială, dar presupunem că electronul este accelerat din poziția inițială în repaus.

Deci energia cinetică inițială este 0.

Și obținem mV pătrat pe 2.

Este egală cu lucrul mecanic efectuat de către sistemul electric care aplică această diferență de potențial.

Deci sarcina electrică mulțită cu diferența de potențial U.

De aici, bineînțeles, extragem viteza V.

Deci viteza V va fi 2EU împărțită la m, masa electronului, de unde putem calcula mV.

Deci mV, adică impulsul electronului, va fi egal cu radical din 2mEU.

Și apoi, aplicând ecuația Planck, pe care o reamintesc, λ este egal cu h împărțit la mV,

obținem că lungimea de undă a electronului, în acest caz, va fi h împărțită radical din 2,

mulțitul cu masa electronului, sarcina electronului și diferența de potențial de 100V.

Înlocuind valorile acestor parametrii, obținem că lungimea de undă a electronului, în acest caz,

după un calcul, va fi egală cu 0.12nm.

Vă reamintesc, nano e definiția sau notația pentru 10-9.

Deci 0.12 × 10-9 m.

Aceasta este lungimea de undă a electronului accelerat în această diferență de potențial.

Ea este, într-adevăr, lungime de undă foarte mică.

Totuși, de Broglie a sensizat că, în principiu, ea ar putea avea consecințe măsurabile.

Deși foarte mici, aceste lungime de undă pot produce efecte măsurabile,

precum difracție electronului în rețeaua atomică a unui cristal.

Aceasta deoarece, într-un cristal, distanța dintre atomi e de ordinul 10-10 m, adică 0.1 nm,

care este comparabil cu lungimea de undă ipotetică a electronului, din acest calcul simplu.

În concluzie, dacă trimitem un fascicul de electroni cu această lungime de undă

în jur de această valoare pe o rețea cristalină atomică,

ar trebui să observăm fenomene de difracție, adică frange,

după cum vă amintiți, maxime și mine.

Lăsându-i camdat acest punct deoparte, asupra căruia vom reveni,

și anume faptul că rezultă că lungimea de undă asociată electronului

este mică, dar în principiu măsurabilă și producând efecte măsurabile,

să ne întoarcem la sisteme și mai mari.

Deci, în al doilea caz, să considerăm un sistem fizic macroscopic.

Spre exemplu, o minge de tenis, care are masa standardizată de aproximativ 60 grame,

care e servită de un jucător cu o viteză relativ mare pentru un corp macroscopic

de 100 de metrii pe secundă.

Haideți să calculăm lungimea de undă ipotetică asociată unui astfel de sistem,

adică această minge de tenis în mișcare.

Aplicăm din nou ecuația de broi pentru lungimea de undă a unui corp,

λ egal cu h împărțit la mv, și înlocuim valoarea constantei Planck,

valoarea masei mingii, și anume 0.06 kg, înmulțită cu viteza ei, 100 de metrii pe secundă.

Și deci obținem că lungimea de undă asociată acestei mingi de tenis

va fi de aproximativ 10 la minus 34 metri.

Aceasta este o lungime de undă extraordinar de mică.

O astfel de lungime de undă e imposibil de detectat,

chiar și cu cele mai moderne aparate din laboratoarele noastre curente.

Pentru a exemplifica, la ora actuală,

vitezele cele mai mari ale particolor se obțin în acceleratorul Large Hadron Collider,

în care protonii sunt accelerați la energii cinetice de 14 tEV.

Adică, dacă calculăm, tera înseamnă 10 la 12, deci 14 x 10 la 2 eV,

pentru a trece în sistemul internațional de unități de măsură.

Trebuie să trecem de la unitatea electron-volt la Joule.

Aceasta se face prin relația 1 Joule este egal cu

sarcina electrică elementară, 1.6 x 10 la minus 19 C, înmulțit cu 1 V.

Deci 1 Joule este energia acumulată de un electron accelerat într-o diferență de potențial de 1 V.

Și deci obținem că în acest superaccelerator,

despre care am mai vorbit în lecțiile de teorie relativității,

deci în acest superaccelerator,

protonii au această energie cinetică de 2 micro Joule,

care este o energie imensă pentru o particulă atât de mică pe cum un proton.

Totuși, dacă calculăm lungimea de undă pentru această energie cinetică,

obținem o valoare a lungimii de undă a protonului de 1 milion de ori mai mare

decât o astfel de lungime de undă.

În concluzie, motivul pentru care mașina dumneavoastră poate avea o undă asociată ei

și totuși noi să nu observăm efecte ondulatorii ale acestei mașini,

este pentru că ele au loc la o scară la care capacitatea noastră de observare,

chiar și cu cele mai bune instrumente moderne, este depășită.

Deci aceste efecte sunt complet invizibile și neobservabile pentru noi.

Acum să revenim la particulele microscopice, precum acest electron,

în care, în principiu, efectele ondulatorii ale particulor pot fi observate,

adică se poate încerca observarea unui fenomen pur ondulatoriu, precum difracția,

pentru o particulă, precum electronul.

Acest experiment a fost făcut de către Davison și Germer,

deci difracția electronelor a fost măsurată experimental în experimentul Davison-Germer,

a cărui schemă simplificată o vedeți în acest desen și o să-l explic pe scurt.

Deci ce avem notat cu F este un filament care este conectat la o sursă și deci se încălzește.

Când devine incandescent, el începe să emită, printre altele, și electroni,

iar acești electroni sunt accelerați, apoi, în diferența de potențial

pe care filamentul îl are relativ la anodul A.

Deci anodul A este încărcat pozitiv, deci electronii vor fi accelerați în acest spațiu

datorită diferenței de potențial U dintre filament și anod.

Iar apoi ei se îndreaptă către un cristal de nichel.

Deci ce vedeți aici, cu acest pătrat albastru hașurat, este un cristal de nichel

care, în experiment, are posibilitatea de a se roti în jurul axului propriu.

Mai exact, acest unghi theta de incidență și apoi de împrăștiere poate fi variat.

Și, în final, bineînțeles, avem și un detector de electroni notat cu D

care, în experimentul de Davidson-Germer, se poate mișca pe o șină circulară

pentru a măsura electronii împrăștiațile la varii unghiuri theta.

Prima măsurătoare făcută de către ei a fost aceea că, pentru varii unghiuri de incidență theta,

se obțin maxime și minime ale curentului de electroni împrăștiați.

Deci, pe scurt, dacă se măsoară și apoi se reprezintă grafic

intensitatea curentului de electroni în detectorul de la varii unghiuri theta de împrăștiere

se obține o figură tipică de difracție, adică obținem maxime și minime.

Deci, frange.

Apoi, în a doua etapă a experimentului, se menține unghiul theta fix și se variază tensiunea de accelerare.

Deci, la theta fix, dar la o tensiune de accelerare u variabilă, se obține iarăși o figură de difracție,

o comportare difractivă a electronuri măsurați în D.

Mai exact, dacă se face graficul intensității electronilor măsurați în detectorul D

ca funcție de radical din U, unde U este tensiunea de accelerare,

se obține iarăși frange, adică maxime și minime ale acestor electroni.

Deci, o comportare de tip difracție a electronurilor în mai multe variabile.

Haideți să vedem cum se poate descrie această comportare.

Mărind cristalul de nichel, putem să ne imaginăm următoarea situație.

În cristal avem rețeaua cristalină, adică atomii sunt dispuși în această structură cristalină

pe care cade această radiație, acest fascicul de electroni,

care este făcut din electronii căzând toți la un unghi θ.

Deci unghiul θ este unghiul de incidență al electronelor pe cristal.

Dacă notăm cu D distanța dintre straturile de atomi din distanța interatomică,

atunci putem observa că diferența de drum în un electron ce se împrăștie pe primul strat de atom

și un electron ce se împrăștie pe al doilea strat de atomi va fi egală cu suma dintre aceste două segmente.

Deci delta 1, notăm cu delta 1 și delta 2 aceste două segmente,

și atunci delta, diferența de drum optic, va fi egală cu delta 1 plus delta 2,

dar ele sunt egale, deci este egală cu 2 delta 1,

iar apoi putem observa că dacă acesta este unghiul θ de incidență,

atunci aceste două unghiuri sunt și ele θ.

Și atunci delta 1, sinus de θ, va fi egal cu delta 1 împărțit la D.

Deci avem că diferența de drum optic între acești două electroni va fi egală,

sau diferența de drum între acești două electroni va fi egală cu 2 de sinus de θ.

Pentru a obține maxim, după cum știm din lecțiile de difracție,

trebuie să avem condiția ca diferența de drum să fie K ori λ.

Deci aceasta este așa numită ecuație Bragg

pentru obținerea maximilor de difracție a electronilor

într-un dispozitiv de tip Davidson-Gern.

Iarăși, important de notat este că acest λ, care e lungimea de undă a electronilor,

după cum am demonstrat, este egal cu H împărțit la radical din 2MeU.

Deci λ este direct legat de tensiunea de accelerare U, celalte fiind constante.

În concluzie, poziția acestor maxime unghiulor θ

este dată de lungimea de undă, adică de tensiunea de accelerare,

și de distanța dintre staturile de atom, distanța interatomică.

În particular, dacă folosim, după cum am calculat în minutele precedente,

o tensiune de accelerare de 100 V,

după cum am văzut, aplicând această ecuație,

obținem o valoare a lungimii de undă a electronilor de 0,12 nm, deci cunoaștem λ.

Apoi măsurăm poziția θ a primului maxim.

Deci pentru K egal cu 1 primul maxim experimental, poziția unghiului θ este 65 de grade

în cazul cristalului de nichel.

Și atunci putem extrage direct distanța interatomică pentru cristalul de nichel de 9,1 nm.

În concluzie, experimentul Davison-Germer a demonstrat că într-adevăr electronii se comportă ondulatoriu.

Avem fenomene de difracție clare în mai mulți parametri,

ce depinde de mai mulți parametri ai electronilor pe cristale de nichel.

Și mai mult ca și aplicație practică, această proprietate a electronilor poate fi folosită

pentru măsurarea caracteristicilor rețelei cristaline.

în cazul acesta distanța interatomică a cristalului de nichel.