Principiul echipartiţiei energiei. Formula fundamentală.

În ceea de-a șasea lecție de termodinamică vom discuta despre teoria cinetico-moleculară.

Teoria cinetico-moleculară are la bază așa-numitul model al gazului ideal.

Un model este, în general, o serie de mărimi și relații între mărimi folosite pentru a descrie un sistem real

care nu duc această descriere până la capăt, deci este simplificată,

dar totuși dă o descriere corectă a fenomenilor ce se doresc a fi studiate.

Teoria cinetico-moleculară și modelul gazului ideal de la baza ei

sunt construite pe bază a ipotezei atomice despre care am discutat în prima lecție de termodinamică.

Modelul gazului ideal, în mod concret, pornește de la următoarele patru ipoteze sau noțiuni de bază.

Prima este că numărul de atomi sau molecule din gaz este foarte mare și că aceste molecule sau atomi sunt identici.

A doua este că dimensiunile atomilor sau moleculelor sunt neglijabile față de distanțele dintre ele.

Altfel spus, putem considera atomii sau moleculele puncte materiale de dimensiuni zero.

A treia presupunere sau simplificare este că nu avem interacțiuni între atomi sau moleculele gazului.

Singurele modalități de interacțiune dintre atomi sau molecule fiind ciocnirile, care sunt considerate perfect elastici.

Altfel de interacțiuni sunt neglijate.

Și ultima presupunere este că mișcarea atomilor sau moleculelor dintr-un gaz ideal este continuă, haotică,

adică nu există o direcție preferențială de mișcare, direcția de mișcare este aleatorie,

și că ea are loc pe traiectorii rectilinii între aceste ciocniri.

Aceste noțiuni sau presupuneri care sunt la bază a modelului gazul ideal au la bază măsurători,

precum cele efectuate de Brown și care au dus la noțiunea de mișcare browniană,

care sunt prezentate în această imagină.

Deci ceea ce vedeți aici este înregistrarea mișcării unei particule de polen aflată în suspensie într-un lichid.

Și ceea ce vedem este că particula are o mișcare într-adevăr aleatorie, continuă și haotică,

că între două ciocniri ale particulei cu atomii sau moleculele lichidului, traiectoria este rectilinie,

și că, într-adevăr, în afară de aceste ciocniri care modifică traiectoria particulei,

se pare că nu mai există alte interacțiuni semnificative pentru că aceste traiectorii sunt drepte.

Pe baza modelului gazului ideal, se stabilește următorul principiu pe care îl voi formula și apoi îl voi explica un pic.

Principiul echipartiției energiei pe grade de libertate.

Acest principiu spune că energia cinetică medie a unui atom sau molecule dintr-un gaz

e egal distribuită pe fiecare grad de libertate și egală cu produsul dintre constanta Boltzmann și temperatura absolută împărțită la 2.

Scris ca sub formă de ecuație, acest principiu spune că, din nou, energia cinetică medie,

asta înseamnă nu energia cinetică a unei molecule sau a unui atom, ci media tuturor energiilor cinetice,

este egală cu raportul dintre numărul de grade de libertate, pe care îl voi defini imediat, I împărțit la 2,

îmulțit cu produsul dintre constanta Boltzmann și temperatura.

Deci I este numărul de grade de libertate, iar prin definiție un grad de libertate este o coordonată independentă a mișcării.

Bun, acum să explicăm un pic acest principiu și mărimile prin care el este formulat.

În primul rând, acest principiu este de fapt demonstrat, deci ecuația aferentă lui este demonstrată în fizica statistică,

dar acesta este un domeniu al fizicii studiat mult mai târziu, în particular în facultate.

Totuși, noi luăm ca punct de plecare pentru dezvoltarea teoriei cinetico-moleculare acest rezultat al fizicii statistice,

pe care îl formulăm ca și principiu, adică fără demonstrație.

Dar e important să știți că el poate fi demonstrat.

Și el spune, din nou, că energia cinetică medie, adică mișcarea, dacă vreți, mișcarea unui atom sau molecule, nu are direcție preferențială,

ceea ce este legat direct cu ipoteza sau noțiunea de bază numărul 4 din modelul gazului ideal.

Acesta spune că mișcarea este haotică, ceea ce înseamnă că dacă consider, spre exemplu, în acest experiment, axa X sau axa Y,

în fiecare interacțiune, direcția mișcării și, în consecință, direcția vectorului viteză și energia cinetică, este aleatoare.

Nu avem o direcție preferată în raport cu axele X și Y.

Și atunci, deci, energia cinetică va fi egal distribuită pe cele două axe, X și Y, eventual și axa Z.

Valoarea acestei energii cinetice pe o axă este acest constantă bolță amulțit cu temperatură împărțită la 2.

Din nou, acest lucru luăm ca principiu nedemonstrat, dar el poate fi demonstrat în fizica statistică.

Numărul de grade de libertate este egal cu numărul de coordonate independente ale mișcării.

În cazul cel mai simplu și singurul care l-am studiat noi până acum, cel al unei mișcări de translație, avem trei coordonate.

Pentru a descrie mișcarea, avem nevoie de coordonatele X, Y și Z.

Deci, în cazul simplu al atomului din modelul gazul ideal și anume un atom sau moleculă punctiform cu dimensiuni neglijabile,

atunci singura mișcare este de translație, care este descrisă de trei coordonate.

În concluzie, pentru a putea scrie forma finală a energiei cinetice medii a unei molecule în gazul ideal,

folosim această ipoteză a modelului gazul ideal cu numărul 2 și anume că dimensiunile sunt neglijabile,

ceea ce, după cum am spus, implică că numărul de grade de libertate este 3, care corespund celor trei coordonate carteziene X, Y și Z.

Ca și comentariu, dacă atomul sau molecula ar avea dimensiuni neneglijabile, adică nu ar fi punctiform,

atunci numărul de grade de libertate ar crește, pentru că, spre exemplu, pe lângă mișcarea de translație,

o moleculă cu dimensiuni poate avea și o mișcare de rotație în jurul axului propriu,

acelea sunt coordonate de mișcare separate față de cele de translație, sunt coordonate unghiulare de rotație,

și atunci am avea un număr de grade de libertate, spre exemplu 5, dacă includem doar rotația.

Prevenind, în cazul modelului nostru, cel al gazului ideal, numărul de grade de libertate este 3,

și deci energia cinetică medie pe moleculă sau pe atom este 3 împărțit la 2 KBT.

Constanta lui Boltzmann a fost introdusă și definită în lecția precedentă,

ea este egală cu raportul dintre constanta universală, sau constanta maior, R,

și numărul lui Avogadro, NA, deci energia cinetică medie se va scrie ca fiind 3 pe 2 R împărțit la A,

îmulțit cu temperatura.

Prin definiție, energia cinetică medie este suma tuturor energiilor cinetice,

deci o sumă de la 1 la N, unde N este numărul de atom sau molecule,

deci facem suma tuturor energiilor cinetice ale moleculor și împărțim la numărul de atom sau molecule.

Asta e definiția unei medii, în general.

Aceasta se poate scrie, în mod evident, ca 1 pe N, sumă, din nou, pentru toate moleculele sau atomii,

din masa unui atom sau molecul împărțită cu viteza lui la pătrat, împărțită la 2.

Din nou, am considerat că, în ipoteza numărul 1, a modelului gazul ideal,

că masa este aceeași, deci atomii sau moleculele sunt identice.

Deci putem scrie că este egal cu M împărțit la 2, 1 pe N,

sumă, după i, egal, pentru i, de la 1 la N, din Vi pătrat,

care, prin definiție, este viteza la pătrat, media vitezei la pătrat.

Comentariu, ca și comentariu, pătratul mediei nu este media pătratului.

Puteți să verificați singuri, din definiția mediei,

dar aceasta este un alt fel de a spune că pătratul unei sume nu este suma pătratelor.

Din aceste două ecuații, rezultă că 1 pe 2 M V pătrat mediu

este egal cu 3 pe 2 R împărțit la N A, mulțit cu temperatura absolută,

adică R T este egal cu 1 pe 3 N A M V pătrat mediu, media pătratului vitezei.

Din ecuația generală a gazelor, știm că PV este egal cu nu R T,

deci obținem că PV este egal cu 1 pe 3 nu, numărul de kilomoli,

ori N A, numărul avogadro, mulțit cu M V pătrat mediu,

dar nu îmulțit cu N A este, prin definiție, numărul total de atomi sau molecule,

iar N împărțit la V este, prin definiție, densitatea de atom sau molecule.

Deci obținem că P este egal cu 1 pe 3 N, mulțit cu N, densitatea de atom sau molecule,

mulțită cu masa unei molecule, mulțită cu media vitezei la pătrat.

Aceasta este formula fundamentală a teoriei cinetico-moleculare.

Ea are forme echivalente, deci formula fundamentală a teoriei cinetico-moleculare pe care am dedus-o este aceasta.

Are forme echivalente, spre exemplu, ținând cont că densitatea gazului este, prin definiție, masa lui împărțită la volum,

adică este egală cu numărul de atom sau molecule mulțită cu masa unei atom sau molecule împărțit la V,

deci este egal cu densitatea de numărul de atom sau molecule pe unitatea de volum, mulțită cu masa uneia.

Înlocuind în prima formulă obținem că presiunea este 1 pe 3 mulțită cu densitatea volumului, mulțită cu media pătratului vitezei.

De asemeni, putem scrie că NMV pătrat mediu este egal cu 2N energia cinetică medie, în mod, această relație este evidentă,

iar energia cinetică medie este, prin definiție, energia totală internă a gazului împărțită la volum.

Energia totală a gazului, care se numește energia internă și se notează cu U, va fi produsul dintre volum și energia cinetică medie a unei molecule.

De aici obținem o altă formulă, o altă formulare a formulei fundamentale, și anume că presiunea este egal cu 2 pe 3 mulțită cu numărul de molecule pe unitatea de volum, mulțită cu energia cinetică medie,

sau egal cu 2 pe 3 mulțită cu energia totală internă a gazului împărțită la volumul.