Legea echilibrului de rotaţie. Stabilitatea echilibrului.

În cea de-a treia lecție de statică

vom discuta despre echilibru de rotație

și despre noțiunea de stabilitate

a echilibrului.

Echilibru de rotație

a unui corp solid ce se poate roti în jurul

unei axe, se obține sub acțiunea

unor forțe, dacă suma algebrică

a momentelor forților în raport cu acea

axă, este nulă.

Acest concept de sumă algebrică

a momentelor forților

față de o axă, a fost discutat în

lecția precedentă și înseamnă

pur și simplu că acest produs

F or D, care este momentul unei forțe,

are un semn, plus sau minus,

stabilit printr-o anumită convenție și

acel semn este luat în calcul când se face

suma momentelor forților.

Datorită faptului că acești

produsi pot fi pozitivi sau negativi,

momentul total poate fi 0

și dacă este 0, atunci obținem echilibrul de rotație.

Vă invit să recapitulați

lecția trecută, unde dăm și un exemplu de calcul,

dar foarte pe scurt, dacă

avem o axă de rotație care se unăta cu delta

și două forțe, F1

spre exemplu, și F2,

atunci în mod evident

F1 va genera o rotație

într-un sens luat prin convenție pozitiv

al corpului, în timp ce F2

va genera o rotație în sensul opus.

În consecință, momentul forței F2 va fi negativ.

Dacă suma algebrică

ce ține cont de aceste semne

a celor două forțe este 0,

atunci obținem un echilibru de rotație

al corpului în jurul axei delta.

Să rezolvăm un exemplu simplu

de echilibru la rotație.

Avem o tijă de lungime L

articulată

într-un punct A de un perete.

Avem un perete, un punct A și o tijă.

De lungime L.

Acționăm asupra ei

cu o forță F1

orizontală.

Și dorim să stabilem unghiul alpha cu peretele

pentru care această tijă se află

în echilibru de rotație.

Deci, ca să recapitulăm

Cunoaștem greutatea tijei

care este 10 N.

Cunoaștem forța F1

care este 3 N și este orizontală.

Și dorim să calculăm unghiul alpha

pentru care se obține un echilibru

de rotație.

În jurul acsei ce trece prin A.

Desenăm întâi forțele.

Avem forța F1,

apoi forța de greutate

a tijei

și mai există și o forță de reacțiune

a peretelui

care este perpendiculată pe suprafața peretei.

Să calculăm momentele celor trei forțe.

Momentul față de A

a lui R

a forței R de reacțiune este 0.

Pentru că R trece prin A

are braț 0.

Momentul

a forței de greutate

este egal cu

minus G

ori brațul pe care îl notăm cu AH

al forței.

Să explicăm.

Întâi considerăm prin convenție

un sens pozitiv de rotație

și în mod evident greutatea va roti tija

în sens opus a acestui semn luat prin convenție.

De aceea momentul lui G

va fi negativ.

Brațul forței G

este distanța dintre dreapta suport a greutății

și axa de rotație

care este perpendiculată pe ecranul dumneavoastră trecând prin A.

Acest AH

este brațul forței G.

Deci avem că momentul lui G este minus G

îmbulțit cu

Lp2 sinus de alfa.

Pentru că

distanța dintre A și

punctul de aplicație al forței

se notă cu C.

AC este Lp2

și deci AH

va fi Lp2 sinus de alfa.

Momentul forței F1

este egal cu plus F1

îmbulțit cu

AK.

Deci F1

are această dreaptă suport

și atunci brațul ei

este AK

unde K este punctul de intersecție dintre prelungerea forței

și perete.

Deci îmbulțit cu AK.

Sensul este pozitiv deoarece, în mod evident,

F1 va genera o rotație

în același sens cu sensul luat prin convenție pozitiv.

Deci obținem că

momentul forței F1 este plus F1

îmbulțit cu L cosinus de alfa.

Deci AK este L

lungimea tijei, ori cosinus de alfa

pentru că AK este cateta alăturată

lui alfa.

Obținem că momentul total,

care este suma algebrică

a tuturor acestor momente,

este egal cu minus

G Lp2 sin alfa

plus F1

L cos alfa.

Dar știm că

tija se află în echilibru de rotație.

Ceea ce înseamnă că

acest moment total

este egal cu 0.

Din aceasta scoatem ecuația

că G Lp2

sin alfa

este egal cu F1

L cos alfa

și deci tangentă

de alfa

este egal cu 2F1

împărțit la G.

Putem înlocui

valoarele numerice

și obținem că

avem o valoare de tangent de alfa

de 0.6, ceea ce înseamnă că

unghiul alfa la care se obține

echilibru de rotație

este de 31 de grade.

Să discutăm acum despre

noțiunea de stabilitate a echilibrui.

Am văzut că obținem echilibru de translație

când rezultanta forțelor externe

este 0. Am discutat despre acest lucru

în prima lecție de statică

și că obținem un echilibru de rotație

când momentul total

al tuturor forțelor externe este 0.

Am discutat despre acest lucru în cea de-a doua lecție

de statică și în începutul acestei lecții.

Dar întrebarea care se pune este

când acest echilibru este stabil.

Ce înțelegem prin noțiunea de stabilitate?

Un echilibru este stabil, atât un echilibru de translație

cât și de rotație, dacă el rămâne

un echilibru și după încetarea acțiunii forțelor.

Invers, echilibrul se numește instabil

în mod evident, dacă

avem un echilibru de translație

sau ori și rotație

sub acțiunea lor forțe, dar odată

ce îndepărtăm aceste forțe

echilibrul dispare.

Să dăm un exemplu simplu.

Avem o suprafață

curvată

și considerăm două bile pe această suprafață.

O bilă pe fundul suprafeției

în punctul cel mai de jos

și o bilă undeva mai sus.

Amândouă bilele se află sub acțiunea gravitației.

Presupunem că amândouă sunt în echilibru.

Adică că atât punctul A

cât și punctul B nu se mișcă

nu au nici mișcare de translație

nici de rotație.

În cazul punctului B, asta presupune

acțiunea unei forțe externe

care să echilibreze

componenta

greutății tangențială la suprafață

care ar face corpul să cadă

spre interiorul suprafeției.

Presupunem că avem un f

care este egal cu g

tangențial.

În acest caz

și bila B

va fi în echilibru.

Acum, întrebarea ce se pune este

ce se întâmplă cu bila B

întâi dacă îndepărtăm forța F.

În mod evident

starea de echilibru va dispare

și anume, bila B va intra într-o mișcare

de translație accelerată

și deci, acest echilibru

este un echilibru instabil.

Ce se întâmplă cu bila A

dacă îi aplicăm o forță F

egală?

Observăm că

ea intră într-o mișcare de

translație, dar că

odată ce îndepărtăm forța F

ea se va așeza

după o mișcare de

o anumită perioadă în același punct

în aceeași poziție de echilibru.

Concluzia este că

bila din poziția B

care inițial se afla în echilibru datorită acțiunii forței F

este într-un echilibru instabil

pentru că odată ce F dispare

echilibrul dispare și el.

Invers, bila A

din această poziție

se află într-un echilibru stabil.

Odată îndepărtată forța F

care perturbă, în acest caz,

poziția de echilibru inițială,

ea tinde să revină în această poziție de echilibru.

Deci echilibru din această poziție

este un echilibru stabil.

În general, se

conectează

noțiunea sau conceptul de echilibru stabil

cu acela de energie potențială minimă.

Pentru că observăm

că între toate aceste poziții

de-a lungul suprafeței

de vari înălțimi H

față de pământ

deci acesta este pământul

singura poziție care are

un echilibru stabil este cea

cu înălțime minimă

din poziția A.

Toate celelalte poziții sunt instabile

au echilibru instabil.

Deci echilibrul stabil se obține

când energia potențială care în acest caz

este Mgh

este minimă. Acest lucru

este valabil și pentru alte tipuri de energie potențială.

Această echivalență

între echilibru stabil și energie potențială minimă.

De exemplu și pentru energie potențială elastică

și așa mai departe.