Interferenţa luminii. Franjele interferenţei staţionare. Interferometrul Young.

În cea de-a doua lecție de Optică ondulatorie

vom discuta despre fenomenul de interferență a luminii

și despre dispozitivul Yank.

Să reamintim întâi câteva noțiuni esențiale

în legătură cu fenomenul de interferență

despre care am discutat atunci când am prezentat

interferența undelor mecanice.

În primul rând, interferența este, în general,

suprapunerea a două unde și, în particular,

interferența luminii se referă la suprapunerea

a două radiații vizibile.

Radiațiile vizibile, vă reamintesc,

sunt unde electromagnetice cu lungimea de undă

în intervalul 400 de nanometri,

700 de nanometri.

Interferența este staționară

dacă cele două radiații

provin de la două surse coerente.

Surse coerente avem atunci când

diferența de fază dintre ele este o constantă

și, în particular, când pulsațiile celor două unde

sunt egale.

Atunci se formează așa numitele ventre și noduri

care sunt fixe, adică nu se deplasează în timp.

Ventrele sunt locațiile în care amplitudinea

undei de interferență este maximă

și nodurile sunt locațiile în care

această amplitudine este minimă.

Propagarea frontului undei se realizează

în conformitate cu principiul Huygens.

Din nou, am discutat despre acest principiu

în lecțiile despre interferența undelor mecanice.

Cea mai importantă proprietate a interferenței staționare

este că intensitatea luminoasă a undei rezultante

de interferență este constantă în timp

în toate punctele câmpului de interferență.

Aceasta deoarece intensitatea luminoasă se definește

ca energia electromagnetică

pe unitatea de suprafață și timp.

Se poate demonstra, plecând de la această definiție,

noi nu facem această demonstrație,

dar plecând de la această definiție,

se poate demonstra că intensitatea undei

într-un anumit punct descris de vector o poziție r

și la un anumit moment t

este o constantă înmulțită cu amplitudinea

undei în acea poziție și la acel timp la pătrat.

Ținând cont de această ecuație

și ținând cont și de definiția undei staționare

și anume, unda staționară are amplitudini

în punctele undei independente de timp.

Deci amplitudinea într-o poziție r

la un moment dat oarecare t

este dependentă numai de poziția r

și nu de timpul în care ne uităm în această poziție.

Făcând uz de această proprietate a undei staționare

rezultă imediat că

undele staționare, în particular undele staționare

obținute prin interferență

au o intensitate luminoasă

ce depinde numai de poziție,

nu depinde de timp, această intensitate luminoasă.

În particular pentru o undă plană

care a fost discutată și ea în

lecțiile de unde mecanice.

Unda plană este unda

la o distanță mare de sursă.

Deci pentru o undă plană

intensitatea luminoasă s-a demonstrat

a fi egală cu 1 pe 2

îmulțită cu densitatea m

propagare, viteza de propagare a undei

pulsația undei la pătrat

și amplitudinea la pătrat a undei.

Deci în cazul undei plane

această constantă

este egală cu

cu acest produs.

1 pe 2 Rho V Omega pătrat.

Acestea au fost noțiunile generale

de interferență

cu aplicație în interferența luminii.

Să considerăm acum

două unde coerente de aceeași amplitudine.

Reamintesc că

două unde coerente înseamnă aceeași pulsație

și că aceeași pulsație

înseamnă

același număr de undă K

dacă undele se propagă prin

același mediu.

Aceasta deoarece

K, numărul de undă, este definit

ca 2 pi pe lambda

lungimea de undă

care este egală cu

produsul dintre viteza de propagare

și perioada T

și din definiția perioadei

acesta este pulsatia Omega

împărțită la viteza V.

Deci dacă

cele două unde au aceeași pulsație

Omega și se propagă

prin același mediu

ceea ce înseamnă că au aceeași viteză

de propagare, atunci ele vor avea și

același număr de undă.

Și considerăm că cele două unde

au aceeași amplitudine

pentru că în aplicațiile practice

felul în care se obțin unde coerente

spre exemplu, după cum vă vedea

prin divizarea aceleiași unde

sau prin reflexia unei unde

rezultă că

în aplicațiile practice

vom avea în majoritatea

cazurilor aceeași amplitudine.

Și pur și simplu adunăm

aceste două unde. Deci unda rezultantă

este E1 plus E2

care este E0

înmulțit cu sinus de 2 pi

timpul împărțit la perioada T

minus poziția R1 împărțit la

lambda, lungimea de undă

plus același termen pentru cea de-a doua

undă, în care am folosit

bineînțeles definițiile

pulsație omega

după cum am spus prin definiție

este 2 pi supra T

și a numărului

de undă K care

prin definiție este 2 pi pe lambda.

Pentru a aduna

aceste două funcții sinusoidale

folosim următoarea relație trigonometrică.

Sinus

de alpha

plus sinus de beta

unde alpha și beta

sunt două

unghiuri oarecare

este egal cu 2

cosinus de alpha

minus beta împărțit la 2

înmulțit cu sinus

de alpha

plus beta

împărțit la 2.

Deci vom aplica această

identitate trigonometrică

pentru a calcula această

sumă de sinusuri unde alpha

bineînțeles este argumentul primului sinus

și beta este argumentul

celui de-al doilea sinus.

Și deci obținem următorul

următoarea formul.

E va fi egal cu 2e0

2 fiind acest 2

2e0 cosinus de

diferență împărțit la 2

adică 2pi împărțit la 2

acest împărțit la 2

înmulțit cu

diferența dintre cele două argumente.

Deci T1 împărțit la

T minus R1 împărțit la

lambda minus

T1 împărțit la T plus R2

împărțit la lambda

minus cel de-al doilea argument

și apoi sinus de

2pi împărțit la 2

de suma celor două argumente

adică acest factor.

Se observă că

în cosinus, în argumentul

funcției cosinus, partea

temporală se simplifică

și obținem o dependență

numai de pozițiile

R1 și R2.

Funcția sinus păstrând

partea temporală.

Și deci obținem următoarea

ecuație pentru

intensitatea E

a undei de interferență.

Deci E

va fi egal cu o valoare

E0 maxim, deci

maximul acestei

undei de interferență

care

este definit ca

2E0 cosinus

de acest termen.

Deci se observă că el

va fi pi

2 cu 2 se simplifică

pi îmulțit

cu R2 minus R1

care este delta R împărțit la

lambda și am

ales să notăm această

funcție cu

o

anumită

mărime E0 maxim

pentru că ea nu depinde de timp.

Deci este amplitudinea

cu care este îmulțită

partea dependentă de timp,

care va fi sinusul.

Deci este sinus

de 2pi, nu mai simplificăm cu 2

pentru că

obținem 2 într-o paranteze.

Deci, spre exemplu,

obținem 2T supra T mare

care se simplifică cu acest

2 minus

scuzați, acesta ar trebui să

fie R1 aici,

deci acesta este R1 minus

R1 plus R2 împărțit la lambda

și avem acest factor 2

de la

acest 2. Deci

aceasta este ecuația

undei rezultante

din interferența

celor două unde coerente.

Dorim acum să studiem

cazul în care obținem

așa numitele franje luminoase

sau franje întunecate,

care sunt echivalentul

din optică al

ventrelor și nodurilor despre care

am discutat în

cazul interferenței

undelor mecanice.

Deci, se numește franjă

luminoasă

punctele

aflate în

poziția delta R

în care obținem

interferență, prin interferență

constructivă, maxime.

Aceasta înseamnă pur și simplu că

amplitudinea

unde rezultante E,

care este acest E0 maxim,

are valoare

maximă. Asta înseamnă că

cosinus de

pi delta R supra lambda

trebuie să fie plus minus 1.

De ce plus minus 1? Pentru că

ce ne interesează, de fapt, este

intensitatea. Deci

în aceste puncte obținem

intensitatea luminii

maximă. Iar

după cum vă aduceți aminte,

am discutat acum câteva minute,

intensitatea este proporțională

cu pătratul

lui E0 maxim.

Amplitudinile la pătrat.

Deci, datorită

faptului că avem pătrat,

obținem intensitatea maximă

în franjele luminoase, atât

pentru valoarea plus 1, cât și

minus 1 a acestui cosinus.

Deci, rezultă că

aceste franje luminoase, în care

intensitatea luminii

rezultată prin interferență este maximă,

se află în pozițiile

în poziția, sau

în pozițiile în care delta R,

adică R2 minus R1,

este un multiplu

par de lambda P2.

Deci, cosinus este

plus minus 1, când argumentul

este plus minus pi P2.

Și înlocuind, obținem

delta R egal cu 2K,

un multiplu par de semiunde.

Franjele

întunecate sunt opusuri.

Sunt punctele, sau

locul geometric al punctelor,

în care

interferența este destructivă, adică

intensitatea este minimă.

Și atunci,

poziția lor va fi

astfel încât cosinus,

acest cosinus, să fie 0.

Deci, intensitatea să fie 0.

La fel, cosinusul este

0 când

argumentul lui

este un multiplu

de pi.

Și obținem că

delta R

este egal

cu 2K plus

1 lambda P2.

De fapt, am greșit

aici. Cosinus, deci cosinus

de, ar trebui să scriu,

cosinus

de un unghi

θ, să spunem, este 0

atunci când θ

este plus minus

P2 și multiplii

de P2 și

cosinus de θ este

plus minus 1

când θ este

plus minus

pi și multiplii de pi.

Făcând

aceste înlocuiri, obținem

valorile lui delta R

pentru care frangele sunt

luminoase sau întunecate.

Haideți să discutăm despre

dispozitivul Yang.

Dispozitivul Yang obține

unde coerente prin divizarea

luminii monocromatice de la o

fantă filiformă S

de către alte două fante

S1 și S2 filiforme și paralele

între ele și cu S.

Schema ar fi următoarea.

Avem o

în fața ei punem o fantă

pentru a obține

o

sursă punctiformă

și, bineînțeles,

din această sursă vom obține propagarea

undelor de lumină.

La o anumită distanță,

în fața acestui

front de undă, se pun două alte

fante, S1 și S2

foarte mici, la distanță mică

între ele și paralele.

Vom obține

că aceste

fante vor deveni și ele

la rândul lor surse

secundare de

lumină, conform principiului Huygens,

și vom obține, în consecință,

două unde coerente.

Aceasta este partea cea mai importantă.

Deci, undele secundare

ce se propagă din S1

și S2 vor fi coerente

pentru că provin

din separarea aceleși unde.

Deci vor avea aceiași pulsații.

Și ele se vor

propaga și, la un moment dat,

extinzându-se,

se vor întâlni, se vor suprapune,

generând fenomenul de interferență,

care poate fi observat

pe un ecran

E, lasat la o anumită distanță.

Haideți să

calculăm intensitatea

și condiția

ce rezultă

din această intensitate,

condiția de

interferență maximală,

adică franje luminoase,

și, respectiv,

interferență minimală, adică

franje întunecate,

într-un punct oarecare P

aflat la

poziția

sau în poziția Y

față de axa

dispozitivului notat

prin această linie

orizontală întreruptă.

D este distanța

dintre planul

surselor S1-S2 și ecranul E.

Putem scrie că

2L,

care este

distanța dintre cele două surse,

atât 2L, deci

S1-S2, cât și Y,

sunt mult mai mici decât D.

Întotdeauna,

fiind, avem

acest caz în

aplicațiile practice,

S1-S2

este de ordinul

milimetrilor, la fel și Y,

de ordinul milimetrilor, pe când D este de

ordinul zecilor de centimetri

sau chiar un metru sau doi.

Rezultă că unghiul alfa,

alfa fiind acest unghi,

este

foarte mic. Atunci putem

scrie următoarele ecuații. În primul rând,

tangent de alfa

este egal cu Y

împărțit la D.

Pe de altă parte,

acest unghi, format

în S1

între planul

S1-S2 și

perpendiculara din S1

pe R2, deci aceasta este

perpendiculara, acest unghi

este tot alfa.

Deoarece S1-S2

este perpendicular pe D,

prin definiție,

de asemeni,

S1-N

este

perpendicular pe OP,

aproximativ perpendicular.

De ce? Prin definiție,

S1-N este perpendicular

pe R2, adică pe S2-P,

deci nu pe OP.

Dar în cazul în care

punctul P este

foarte depărtat de planul

S1-S2, atunci R1,

R2 și OP

devin foarte apropiate

între ele. Acest unghi devine foarte mic

și deci toate vor deveni

R1, R2 și OP

se identifică,

devin o singură linie

în aproximația unui punct P

foarte îndepărtat de S1-S2

și atunci S1-N devine

aproximativ perpendicular

pe toate aceste trei linii. Deci avem

S1-N

perpendicular pe OP, aproximativ

perpendicular și atunci

unghiul S2-S1-N

este egal cu unghiul alpha.

Și putem scrie că sinus de alpha

este aproximativ egal cu

S2-N

împărțit la 2L, care este S1-S2.

Dar S2-N

este R2-R1,

adică delta R.

Deci S2-N este egal

cu delta R.

În final putem scrie

că

argumentul

sau partea dreaptă a acestei

ecuații, Y împărțit la D,

va fi egal cu partea dreaptă a acestei ecuații,

delta R împărțit la 2L,

pentru că

pentru valori foarte mici

ale lui alpha,

deci pentru alpha tind de la 0,

avem următoarele ecuații.

Sinus de alpha

este aproximativ egal cu alpha,

cosinus

de alpha este aproximativ

egal cu 1

și din acestea două rezultă că tangentă

de alpha, care este

definit ca sinus de alpha

împărțit la cosinus de alpha, va fi și el

aproximativ egal cu alpha.

Deci putem

scrie că Y împărțit la

D este aproximativ egal cu

alpha și delta R împărțit

la 2L este

și el egal

aproximativ cu alpha.

Rezultă că Y împărțit la

D este egal cu delta R

împărțit la 2L. Rezultă

în concluzie și în final că

Y, poziția unui

punct P este

egal cu D împărțit la 2L

mulțit cu delta R.

Și acum suntem gata

să vedem când anume se

formează maxime și

minime în punctul P

de la poziția Y, pentru că

ecuația

pe care o știm

în cazul

franjelor luminoase este

că diferența de drum este

un multiplu par de semiune.

Deci franjele luminoase se

formează atunci când acest delta R

este 2K

lambda pe 2.

Deci Y

în care

valoarea lui Y în care se formează

aceste maxime ale

amplitudinii, deci franjele luminoase,

va fi un multiplu par

de D

or lambda împărțit la 4L.

La fel, franjele întunecate

se formează

în punctele în care

diferența de drum delta R

este un multiplu impar de

semiune de lambda pe 2.

Înlocuind în această ecuație,

obținem că aceste

franje întunecate

în care amplitudinea sau intensitatea

mai corect spus,

intensitatea este minimă,

intensitatea este cea relevantă

în funcție de

care dă luminozitatea

unei franje, intensitatea luminoasă,

deci intensitatea este minimă

în punctele în care

îndeplinesc condiția Y

egal cu multiplu impar

de acest D lambda împărțit la 4L.

Se definește așa-numita interfranjă,

distanța dintre

două franje, luminoase

sau întunecate, e același lucru,

ca

diferența dintre poziția,

spre exemplu, franjii luminoase

de ordinul K plus 1 și cea de

ordinul K. Înlocuind, obținem că

interfranja este

D or lambda împărțit la 2L.

Ultimul comentariu,

acest

dispozitiv de obicei se folosește

în aer.

Dacă folosim alt

mediu decât aerul, atunci

singura modificare pe care

trebuie să o facem este că lungimea

de undă trebuie împărțită

la indexul de indicele

de refracție al mediului