Gruparea serie şi paralel a bobinelor. Rezonanţa circuitului RLC mixt.

În cea de-a 10-a lecție de curent alternativ vom discuta despre gruparea bobinilor în curent alternativ

și vom da un exemplu de alt tip de circuit RLC decât cele studiate până acum.

Gruparea bobinilor este de două tipuri, ca și pentru rezistoare sau condensatoare, și anume în serie și în paralel.

Gruparea în serie are loc când prin bobinele din circuit trece același curent, precum vedem în această schemă.

Deci avem două bobine de inductanță L1 și L2 și ele sunt în serie deoarece avem același curent trecând prin ele.

Dorim să calculăm inductanța echivalentă, LS, ce poate înlocui această grupare de două bobine sau mai multe, în cazul general.

Ecuația ce poate fi scrisă în acest caz este aceea că tensiunea la bornele grupării este egală cu suma tensiunilor individuale pe fiecare bobină.

Deci avem U este egal cu 1 plus U2, dacă avem mai multe bobine în gruparea în serie, plus U3, plus U4 și așa mai departe.

Aceasta este o ecuație folosind funcții sinusoidale, U fiind tensiunile momentane.

Ea poate fi reprezentată și folosind modelul diagramelor fazoriale, folosind fazori.

Și atunci avem o diagramă de felul acesta.

Să comentez un pic faptul că deseori vedeți o astfel de diagramă fazorială, dar în care nu mai vedeți axele OX și OY.

După cum ați fost obișnuiți din lecțiile trecute, într-o diagramă fazorială trebuie să apară axele OX și OY.

Totuși, deseori, în situații practice, mai ales mai simple precum aceasta, ele nu mai sunt reprezentate.

Aceasta, deoarece se folosesc diagrame fazoriale polare.

Ceea ce înseamnă că axe OX0 este legată de, deci există o axe OX0 întotdeauna într-o astfel de diagramă,

care este legată, adică este coliniară, de fazorul comun din circuit.

Deci, în cazul acesta, intensitatea fiind comună, OX0 se leagă sau este coliniară cu fazorul intensității și, în consecință, se rotește și ea cu viteza angulară omega, care este pulsația curentului alternativ.

Bineînțeles că, în consecință, OY0 va fi perpendiculară și se va roti și ea cu aceeași viteză angulară.

Deci, în concluzie, de fiecare dată când vedeți o diagramă fazorială fără axe OX sau OX0, OY sau OY0,

asta înseamnă că ele sunt prezente, sunt implicit prezente și folosim o diagramă fazorială polară în care axele se rotesc și ele cu viteza angulară omega.

Revenind la ecuația noastră, o putem scrie explicit.

Deci, funcțiile trigonometrice sunt următoarele.

UMsinωt egal cu M1sinωt plus UM2sinωt.

Cele trei tensiuni sunt coliniare și toate perpendiculare, adică defazate în față cu un închid de 90 de grade, față de intensitatea comună I.

În concluzie, aceste funcții sinusoidale, sinus de omega t, se simplifică și obținem ecuația simplă că valoarea maximă a tensiunii pentru întregul circuit,

întreaga grupare, este egală cu suma valorilor maxime ale tensiunilor pe cele două bobine.

Aceasta înseamnă că produsul dintre intensitatea maximă a curentului și reactanțele pe fiecare bobină îndeplinesc această ecuație.

În concluzie, putem spune că inductanța echivalentă a circuitului serii este suma inductanțelor individuale ale celor două bobine,

unde, bineînțeles, am folosit definiția reactanței,

deci reactanța XL în acest caz este omega L pentru bobine.

Trecând la circuitul în paralel, în acest caz, diagrama sau desenul arată în felul acesta pentru circuit,

avem două inductanțe, două bobine, în paralel și asta înseamnă că ele au aceiași tensiune la bolne și ceea ce diferă este intensitatea.

Deci avem cazul opus, de un fel, și anume aceiași tensiune, dar intensitățile curenților se adună dând intensitatea totală.

Această ecuație rezultă din legea Kirchhoff, prima lege Kirchhoff, pentru acest nod.

Deci, scriind prima lege Kirchhoff pentru acest nod, obținem că I este egal cu I1 plus I2.

Bineînțeles, mărimi momentane, adică funcții sinusoidale.

La fel, putem reprezenta, ca și un model alternativ, complementar, aceste mărimi într-o diagramă fazorială

și, în acest caz, fazorul comun este tensiunea, pentru că toate elementele din circuit au aceiași tensiune.

Intensitățile sunt diferite, dar toate perpendiculare și defazate înapoi cu 90 de grade, sau cu Pp2 radian, față de tensiunea comună.

În concluzie, putem scrie explicit această ecuație în felul următor.

Intensitatea maximă înmulțită cu sinus de omega t minus Pp2.

Deci, în fiecare intensitate, avem acest defazaj a intensității față de tensiunea comună.

Atât I, cât și I1, cât și I2 sunt defazate în spate față de U cu același unghi, 90 de grade sau Pp2 radian.

În concluzie, putem simplifica din nou această funcție sinusoidală și obținem ecuația că IM este egal cu IM1 plus IM2.

Mai departe, această ecuație se scrie în felul următor.

Valoarea maximă a tensiunii împărțită la reactanța inductivă echivalentă, care e egal cu suma acelorași factori pentru cele două bobine separat.

În concluzie, putem scrie că inversul inductanței echivalente a circuitului paralel este egal cu suma inverselor inductanțelor individuale.

În care, bineînțeles, între aceste două ecuații am simplificat UM și am folosit din nou definiția reactanței inductive. XL prin definiție este omega L.

Haideți acum să considerăm un alt tip de circuit RLC.

Până acum am discutat despre circuit RLC în care cele trei elemente erau ori în serie, ori în paralel.

În acest circuit, pe care îl vedeți în această imagine, avem RL în serie și această grupare serie de RL, de un rezistor și o bobină, este în paralel cu un condensator.

Și dorim să aflăm în particular pulsația de rezonanță, adică omega zero.

Observăm că avem două tipuri de grupări, după cum am spus.

O grupare în serie, între punctele A și B, care apoi este în paralel cu condensatorul C.

Deci începem cu porțiunea de circuit între punctele A și B.

Porțiunea AB de circuit este un circuit RL serie.

În consecință, avem aceeași intensitate a curentului, iar tensiunea UAB, care este egală cu tensiunea de la bonele întregului circuit U, este egală cu suma tensiunilor pe bobină și pe rezistor, UL plus UL.

Pe care o putem scrie în fazori, într-o diagramă fazorială, în forma echivalentă următoare.

Bineînțeles, avem o echivalență între aceste două ecuații.

Ele sunt aceleași ecuații, dar reprezentate în stânga folosind funcții sinusoidale, iar în dreapta folosind fazori.

Reprezentând această diagramă fazorială, avem că intensitatea curentului, după cum am spus, este comună, IB este comun,

UR va fi de-a lungului IB, pentru că tensiunea la bonele unui rezistor este în fază cu intensitatea ce trece prin el,

iar UL este defazat în față cu pipe 2, față de intensitatea prin el, care este aceeași, circuit serie, din nou.

Deci U, care este tensiunea la bonele lui IB, deci tensiunea dintre punctele A și B, care este tensiunea totală,

U va fi suma vectorială dintre acești două fazori.

După cum am spus, U este egal cu UC.

Deci UAB este egal cu UC.

Și în concluzie putem scrie ecuația pentru sinusul unghiului, pe care l-am anotat cu FIB, între IB și U.

Deci sinus de FIB este egal cu UL împărțit la U.

Avem un unghi de 90 de grade aici.

Și în continuare putem scrie că sinus de FIB este egal cu IB ori XL împărțit la IB ori ZB.

Deci tensiunea la bonele bobinei este egală cu reactanța bobinei mulțită cu valoarea curentului ce trece prin bobină.

Tensiunea totală UAB, care este egală cu U, va fi egală cu impedanța totală a circuitului serie RL, pe care am notat-o cu ZB.

Deci am notat cu ZB impedanța totală a circuitului serie RL, mulțită cu intensitatea curentului.

Deci sinus de FIB este XL pe ZB.

Am rezolvat, mai exact am calculat, acest defazaj între tensiune și curent pe porțiunea B.

Să mergem la circuitul întreg.

Deci trecând acum la întregul circuit, după cum am spus el, este un circuit paralel între ZB și XC, adică între gruparea serie și un condensator.

În concluzie, putem să scriem prima lege Kirchhoff pentru acest nod, și anume intensitatea momentană a curentului total este egală cu suma intensităților momentane ale curenților prin fiecare latură.

IC plus IB. Care fazorial se scrie în felul acesta?

Vom desena, bineînțeles, diagrama fazorială și arată așa.

Dar în ea am mai folosit o informație și anume că, după cum am spus, ne aflăm la rezonanță.

Considerăm cazul în care acest circuit se află la rezonanță.

Prin definiție, un circuit, oricare ar fi el, este la rezonanță când intensitatea totală prin circuit și tensiunea totală prin circuit sunt coliniari.

Fazorii lor sunt coliniari, nu există un defazaj între ele.

Bineînțeles, în general, acest lucru nu este adevărat, adică fazorul I, desenat cu albastru deschis, nu este coliniar cu fazorul U, desenat cu roșu, decât, din nou, dacă avem rezonanță.

Deci, în cazul nostru, ei vor fi coliniari.

U este egal cu C și egal cu UAB, deci este acest fazor de aici.

Iar, în circuitul paralel, IC, intensitatea curentului prin condensator, după cum știm, este defazată în față, cu 90 de grade, față de tensiunea.

Deci, intensitatea curentului este defazată în față, față de tensiunea curentului, dacă amândouă sunt printr-un condensator.

Deci, avem acest unghi clar de 90 de grade între IC și U și, în particular, între IC și I, dacă avem o rezonanță.

Pentru IB, nu mai este așa de clar, în sensul că, acum, curentul IB trece atât printr-un rezistor, cât și printr-o bobină, deci el va avea o orientare oarecare.

Dar, observăm că am notat cu FIB unghiul dintre IB și U.

Deci, între IB și U, în noua diagramă fazoreala, vom avea același unghi FIB.

Și, în consecință, putem scrie ecuațiile pentru unghiul FIB în întregul circuit.

Deci, avem că sinus de FIB este egal cu IC împărțit la IB.

Deci, acest unghi este de 90 de grade.

Sinus de FIB este cateta opus împărțită la ipotenuză.

Deci, sinus de FIB va fi egal cu tensiunea totală comună împărțit la XC. Acesta este IC.

Împărțit la IB, care este intensitatea prin latura AB.

Care este U împărțit la ZB, prin definiție.

Deci, sinus de FIB este XB împărțit la XC.

Acestea două ecuații sunt egale.

E sinusul aceluiași unghi.

Deci, putem scrie că XL împărțit la ZB este egal cu ZB împărțit la XC.

Ceea ce înseamnă că ZB pătrat este egal cu XL plus XC.

Dar ZB este impedanța circuitului serie RL.

Și știm că un circuit serie RL are impedanța dată de această ecuație.

Deci, ZB pătrat este egal cu XL pătrat plus R pătrat.

Care va fi egal cu XL or XC?

Folosind definițiile reactanțelor, în primul rând reactanța inductivă XL este definită ca omega L

și reactanța capacitivă este definită ca 1P omega C.

Deci, înlocuind această ecuație în ecuația aceasta, obținem valoarea lui omega care va fi la rezonanță

datorită acestei condiții.

Și deci obținem că omega zero pătrat este egal cu 1PLC minus R pătrat PL pătrat.

Deci, în felul acesta am obținut pulsația de rezonanță a acestui tip hibrid de grupare RLC.