Difracţia luminii. Franje în reţele de difracţie.

În cea de-a șasea lecție de optico-ondulatorie vom discuta despre fenomenul de difracție aluminii și despre rețelele de difracție.

Difracția aluminii constă în ocolirea obstacolor, deci abaterea de la propagarea pur rectiliniei aluminii, fiind în consecință un fenomen ondulatoriu.

În difracție, la baza căreia stă principiul Huygens, frontul de undă se deformează la întâlnirea unui obstacol sau orificiu și lumina se propagă în spatele acestuia, adică în zona de umbră,

în care, pe baze pur geometrice, adică de propagare rectilinie, lumina nu ar trebui să ajungă.

Undele difractate interferă. Asta înseamnă că difracția e însuțită de frange luminoase și întunecate și că unele frange vor fi colorate.

Acest lucru se poate vedea în această imagine, în care vedem difracția razelor soarelui, aflat la apus, printre copaci,

în care vedem, în primul rând, faptul că, într-adevăr, lumina ajunge în zona de umbră, în care, pe baze pur geometrice, de propagare rectilinie, nu ar trebui să ajungă.

De asemenea, putem vedea că razele difractate prezintă aceste frange în diferite culori.

Putem identifica varii culori în lumina difractată.

Ceea de-a doua imagine prezintă același lucru, dar pentru razele ce vin de la lună, evident, prin reflexie,

sunt raze provenind tot de la soare, dar reflectate pe lună,

difracția razelor lunii printre norii din atmosfera Pământului poate fi văzută în această imagine și, din nou, putem vedea formarea unor frange colorate.

Experimental, se pot observa frangele obținute din difracție.

Spre exemplu, dacă pornim cu un dispozitiv Yang și blocăm una dintre cele două surse,

deci, pur și simplu, punem o placă care nu permite trecerea luminii, o placă opacă, pe sursa a doua.

Ceea ce se observă în acest caz este că frangele de interferență nu dispar.

Deci, frangele de interferență ale dispozitivului Yang, care nu mai este un dispozitiv Yang odată ce blocăm sursa a doi, nu dispară.

În continuare, obținem frange de interferență, dar proprietățile lor se schimb.

Mai exact, franja centrală care în dispozitivul Yang este centrată în jurul axului de simetrie, se mută în fața fantei libere.

Deci, franja centrală de intensitate cea maximă se mută în dreptul sursei S1.

Deci, obținem o franjă mare aici și apoi vom obține o serie de franje de intensitate mai mică.

De asemenea, această franjă centrală devine albă și dominantă, adică raportul dintre intensitatea franjei centrale luminoase și franjele centrale secundare luminoase crește.

Un alt tip de experiment simplu ce se poate face pentru observarea difracției este dacă se variază dimensiunea acestei fante.

Deci, dispozitivul devine cel din cel de-al doilea desen, cel de-al doua schemă, S1 devine S, avem o singură fantă,

dar folosim o fantă cu dimensiune mare, în care D, dimensiunea ei, este mult mai mare decât lungimea de undă a sursei monocromatice, ce generează unda luminoasă inițial.

În acest caz, nu mai obținem o difracție, nu mai obținem franje de interferență sau de difracție, ci pur și simplu o zonă luminoasă, o pată luminoasă pe ecran.

Dacă micșorăm dimensiunea acestei fante până când ea devine comparabilă cu lungimea de undă a radiației luminoase monocromatice,

obținem aceste franje de difracție, de tipul celor care le-am desenat sus.

În consecință, difracția apare la trecerea prin orificii sau prin obstacole ale căror dimensiuni sunt comparabile cu lungimea de undă a luminii.

Haideți să discutăm despre franjele de difracție.

Deci, avem un dispozitiv experimental care, schematic, este prezentat în această imagine, în care avem o singură franjă de dimensiune A, de mărime A,

și un ecran aflat la o distanță D și un punct P oarecare pe acest ecran.

Dacă A este, după cum am spus, comparabil cu lungimea de undă lambda A sursei de lumină monocromatică,

atunci vom obține franje de difracție pe ecran.

Ele vor arăta precum cele din această imagine.

Deci vom obține o franjă centrală luminoasă, de intensitate mai mare, albă, de culoare albă, centrată în poziția 0, în poziția Y,

deci poziția centrală a ecranului.

Deci acesta este 0.

Și apoi vom obține franje colorate, de intensitate mai mică și de lărgime mai mică, pe măsură ce ne departăm de centrul ecranului.

Intensitatea ca funcție de Y, unde Y este poziția de-a lungul ecranului, arată ceva de genul acesta.

Deci avem o franjă centrală luminoasă mare și apoi varii franje de intensități din ce în ce mai mici.

Avem o distribuție simetrică a franjelor față de poziția centrală.

Deci aceasta este intensitatea luminoasă a franjelor de difracție ca funcție de poziția Y de-a lungul ecranului.

Haideți să calculăm mărimea acestei franje centrale.

Deci dorim să calculăm acest parametru notat cu I0, adică distanța dintre primele franje întunecate ce încadrează franja centrală de difracție.

Confortul principiului Huygens, difracția apare datorită faptului că Fanta, în momentul în care frontul de undă de la sursa noastră originală întâlnește Fanta,

această Fanta devine o colecție de surse secundare de unde sferice, care se propagă ca unde sferice și interferă între ele.

Aceste surse secundare sunt coerente pentru că provin de la aceeași sursă, deci au aceeași frecvență.

Deci sunt coerente și pot genera o interferență staționară.

Acesta este motivul principal pentru care în difracție obținem franje, un fenomen specific interferenței staționare.

Deci aceasta este sursa franjelor și anume sursele secundare coerente de-a lungul Fantei.

Considerăm un număr par de astfel de surse coerente, veți vedea imediat de ce par, deci un număr 2K,

mărimea unei surse în concluzie fiind A, mărimea Fantei împărțită la numărul lor 2K.

Să calculăm diferența de drum optic, cum am făcut întotdeauna, a două surse consecutive,

deci R2K-R2K-1, până într-un punct oarecare pe ecran.

Deci am mărit această imagine pentru a vedea geometria acestui fenomen de difracție.

Deci avem sursa cu numărul 2K-1 și sursa consecutivă, următoare, S, sursa numărul 2K.

Vom avea două drumuri optice, R2K, de la sursa S2K până în P, și R2K-1.

Și dorim să calculăm diferența de drum optic delta dintre cele două drumuri optice.

Notăm cu alfa unghiul făcut din centrul Fantei până în punctul P, deci acest unghi este alfa,

și observăm că unghiul care subîntinde diferența de drum optic delta este tot alfa.

Asta deoarece acest segment este perpendicular pe normală prin definiție,

iar acest segment este perpendicular pe dreapta ce unește punctul P cu centrul Fantei.

Deci putem scrie că delta, diferența de drum optic, este egală cu delta a,

sau dimensiunea acestei surse, diferența dintre poziția sursei 2K-1 și sursei 2K,

deci delta a, sinus de alfa.

Aceasta este o aproximație despre care am discutat când am vorbit despre dispozitivul Yang.

Deci această ecuație este valabilă pentru un unghi alfa foarte mic.

Ea nu este o egalitate în sensul strict, ci o aproximație în acest caz.

Vă rog să revizitați derivarea ecuațiilor pentru dispozitivul Yang,

unde am vorbit exact despre această ecuație pentru diferența de drum optic

și ce implică ea în cazul alfa foarte mic,

sau cum anume se deduce această ecuație pentru un unghi alfa foarte mic.

Deci avem această ecuație pentru diferența de drum optic dintre două surse consecutive.

Acum, după cum am spus, dorim să extragem ecuația

pentru poziția celor două frange întunecate de ordinul 1,

deci primelor frange întunecate.

Aceste unde interferă destructiv și se anulează două câte două

în frangele întunecate de ordinul 1,

dacă diferența de drum optic este egală cu λp2.

Haideți să discutăm!

În primul rând, de ce dorim să obținem interferență destructivă?

Foarte simplu, pentru că dorim să calculăm poziția primelor frange întunecate,

acestor două frange întunecate.

Frange întunecate înseamnă intensitate i minimă,

după cum se vede din desen,

ceea ce implică interferență destructivă.

De ce două câte două?

Pentru că ele, pentru a obține o interferență destructivă

pentru toate sursele din fantă,

le cuplăm două câte două sursele consecutive

și aplicăm condiția ca ele să interferă destructiv.

În felul acesta vom avea o interferență destructivă

de-a lungul întregii fante

și acesta este motivul pentru care am considerat un număr par de surse.

Ele se cuplează două câte două și interferă destructiv

în total obținând o condiție pentru o interferență totală destructivă

în aceste două puncte.

Și dorim frangele întunecate de ordinul 1.1

pentru că dorim să stabilim poziția

acestor frange întunecate, primelor frange întunecate,

cea de la stânga și cea de la dreapta frangei centrale.

Iar condiția de frange întunecată

este ca diferența de drum optic

să fie un multiplu impar de semiundă.

Dorind să obținem primele frange întunecate

punem k egal cu 0.

Deci delta, diferența de drum optic, trebuie să fie lambda pe 2

pentru aceste frange întunecate.

În concluzie, delta A, care este A împărțit la 2k,

A împărțit la 2k sinus de alfa,

trebuie să fie egal cu lambda pe 2

pentru aceste două frange.

Adică A sinus de alfa este egal cu k lambda.

Din această ecuație putem acum

extrage poziția Y1

a frangelor întunecate de ordinul 1.

Deci plus Y1 este poziția frangei întunecate la dreapta

și minus Y1 este poziția frangei întunecate la stânga.

În primul rând, sinus de alfa din acest diagram

va fi Y1 împărțit la D.

Y1 având un semn, plus și minus,

în funcție dacă suntem la dreapta sau la stânga punctului 0.

Deci sinus de alfa este egal cu plus minus Y1 împărțit la D

și în această ecuație este egal cu lambda împărțit la A

din nou pentru frangele întunecate de ordinul 1.

În concluzie, Y0 care este egal cu 2Y1

Y0 este această distanță.

Y1 plus Y1 fiind poziția frangei întunecate la dreapta

și minus Y1 cea la stânga.

Deci Y0 va fi 2Y1.

Deci Y0 care este mărimea frangei întunecate centrale

va fi 2Y1 și va fi 2D lambda împărțit la A.

De multe ori, în experimentele de difracție,

se pune o lentilă convergentă în fața fantei

și ecranul atunci, bineînțeles, se va plasa în planul focal

obiect al acestei lentile convergente.

Deci D devine egal cu F, distanța focală acestei lentile convergente.

Aceasta pentru a obține o vizualizare mai bună

a frangelor de difracție.

Atunci, mărimea frangei centrale este egal cu 2F lambda împărțit la A

pentru că D este egal cu F.

Să discutăm acum despre rețelele de difracție.

Deci avem exact același tip de dispozitiv,

dar în loc de o fantă avem un număr mai mare decât unul de fante

și vom avea un ecran la o distanță D

și vom folosi de asemenea două lentile convergente, L1 și L2,

una în spatele rețelei de difracție și una în fața rețelei de difracție.

Vom discuta imediat de ce și cum.

Deci frangele sunt produse atât de interferența între fante

cât și de difracția din fiecare fantă.

Deci fiecare fantă va avea un anumit număr de surse secundare

și aceasta va produce în dreptul ei o figură de difracție,

o franjă, o serie de franje de difracție în fața fiecarei fante,

dar de asemeni, având mai multe fante,

lumina ce trece prin fiecare fantă

va interfera cu lumina din celelalte fante,

ceea ce este interferența.

Deci vom avea, de fapt, franje de interferență pe acest ecran

modulate cu franjele de difracție.

Amândouă fenomene sunt prezente simultan.

Bineînțeles, trebuie să avem condiția ca mărimea fiecarei fante

să fie comparabilă cu lungimea de undă a sursei monocromatice.

Se introduce așa-numita constantă a rețelei care are N fante

care este, prin definiție, lungimea rețelei de difracție

împărțită la numărul de fante.

Se introduce, de asemeni, numărul de fante pe unitatea de lungime

care este inversul constantei rețelei.

Se așează prima lentilă în planul focal

sau se așează sursa monocromatică, mai bine spus,

în planul focal al primei lentile convergente

ceea ce înseamnă că razele de lumină ce cad pe rețeaua de difracție

vor fi paralele.

De asemeni, se așează lentila convergentă a doua

în planul focal astfel încât ecranul să fie în planul ei focal.

Deci acesta este punctul focal obiect

sau focarul obiect al lentilei al doi

iar S este focarul imaginei al lentilei L1.

Și atunci obținem aceste raze paralele

atât la intrarea în rețeaua de difracție cât și la ieșire.

Diferența de drum optic între undele dintre două fante consecutive

va fi egală cu suma dintre delta 1 și delta 2.

Deci vedeți diferența de drum între această rază

ce pleacă din S și ajunge la P

și această rază ce pleacă tot din S și ajunge la P

este egală cu delta 1 plus delta 2.

Apare de asemenea un minus pentru cazul

în care considerăm un punct P

de cealaltă parte a axului dispozitivului

și în caz în care undele paralele vor fi

de cealaltă parte a normalei

deci în acest caz pentru a ajunge în acest punct P

trebuie să considerăm undele paralele

ce pleacă din rețeaua de difracție în sens opus

și atunci delta 2 va avea un sens negativ

adică delta 2 va fi acest delta 2.

Și vom avea diferența de drum optic

delta 1 minus delta 2 în acel caz.

Și ea va fi, această diferență de drum optic

va fi pur și simplu egală cu L'

înmulțită cu sinus de I plus sinus de α

unghiul de intrare și unghiul de ieșire

din rețeaua de difracție

în cazul unui punct P aflat

pe aceeași parte cu sursa

sau minus în cazul punctului P'.

Aceasta este diferența de drum optic

a unei rețele de difracție

în care, bineînțeles, punem condiția

2KλP2 pentru a obține franje luminoase

și 2K plus 1λP2 pentru a obține franje întunecate.

Deci vom obține, bineînțeles, o franjă centrală

ca de obicei, care are o intensitate maximă și este albă

și apoi vom obține și franje de ordine superior

K mai mare decât 0, 1, 2, 3 și așa mai departe, crescător

corespunzătoare unui unghi alfa crescător.

Aceste franje de ordine superior, franje luminoase

vor avea intensitate descrescătoare

și vor fi colorate pentru că lungimea lor

de undă λ va crește împreună

cu K. Și deci, o lungime de undă crescătoare

înseamnă o anumită culoare în spectrul vizibil,

după cum am discutat.

Pentru cazul particular al unei incidențe normale,

adică S este pe, sursa S este pe axul

de simetrie al dispozitivului și atunci

razele ce ies din lentila convergentă L1

vor fi paralele cu acest ax de simetrie și deci

vor avea o incidență normală pe rețeaua de difracție.

Avem I egal cu 0, acest unghi de incidență

și deci diferența de drum optic devine L prim sinus de alfa

egal cu plus minus K λ pentru

franjele luminoase.

Poziția primului

primului, primei franje, Y1 pentru K egal cu 1

este egală cu F2

F2 fiind distanța focală a celei de-a doua lentile.

Deci acest Y1 este egal cu

F2 tangent de alfa.

În concluzie putem scrie că Y1

este aproximativ egal cu

N prim F2 K λ. Deci Y1

este egal cu F2 tangent de alfa, dar pentru unghiuri alfa mici

acesta este F2 alfa.

Y1 este aproximativ

egal cu F2 alfa, dar

alfa din prima ecuație este egal cu

plus minus K λ

deci plus minus F1

F2 K λ

împărțit la L1.

Dar 1 pe L1 este egal cu N1

din această definiție. Deci aceasta este poziția

primelor franjelor de ordinul întâi.

Numărul total de franje din

spectrul de difracție este partea întreagă a acestui

număr. Deci luăm 2K maxim plus 1

1 este franja centrală și avem

apoi un anumit număr K maxim de franje

la stânga și la dreapta. De aceea numim 2. Deci 2

K maxim corespunde ordinului franjei

de difracție pentru un unghi de 90 de grade.

Acesta este unghiul alfa maxim.