Determinism predictibil în fizica clasică. Spaţiul fazelor - atractori.

În prima lecție despre elemente de bază ale teoriei Hauss-ului vom prezenta câteva noțiuni legate de fizica clasică sau mecanica clasică

ce vor fi folosite în lecția viitoare pentru a introduce principiile teoriei Hauss-ului.

În particular vom discuta despre determinismul predictibil al mecanicii clasice și despre spațiul fazelor și atractorii.

Determinismul predictibil al fizicii clasice.

Mecanica clasică e deterministă.

Prin aceasta înțelegem că cunoașterea stării unui sistem fizic, la un moment dat T0,

în particular în mecanică, asta înseamnă cunoașterea vectorului poziție, vectorului viteză și vectorului accelerație,

la acel moment dat T0,

implică cunoașterea tuturor stărilor, la orice alt moment dat T,

prin rezolvarea ecuațiilor, din care motivul acestei ecuații se numește și ecuații de propagare, în timp.

Acesta este determinismul.

Ecuațiile ne furnizează posibilitatea, ca odată ce am măsurat starea unui sistem la un moment dat T0,

să putem deduce care va fi starea lui sau care a fost starea lui în orice alt moment dat T.

Acest determinism se numește determinism predictibil,

deoarece, prin rezolvarea acestor ecuații, soluțiile care se obțin sunt convergente și stabile.

Care sunt motivele?

Vom da imediat și exemple concrete prin care să explicăm aceste noți.

Care sunt motivele pentru care mecanica clasică și fizica clasică, în general,

spre exemplu, electromagnetismul, are aceleași proprietăți de a fi determinist predictibil?

Motivele sunt două.

În primul rând, ecuațiile fundamentale sunt ecuații diferențiale liniare.

O ecuație liniară înseamnă că puterea derivatelor ce apar în aceste ecuații este întotdeauna 1.

Acest lucru este foarte important pentru că face ca o modificare mică în condițiile inițiale

sau în parametrii ecuațiilor să nu implice o variație foarte mare în soluții.

Deci, într-un fel, la modificări mici în parametrii și condiții inițiale,

aceste ecuații ne vor da tot modificări mici sau medii ale soluțiilor.

Această noțiune este cuprinsă, aceste noțiuni sunt cuprinse în ideea de stabilitate

față de parametrii și condiții inițiale.

Haideți să dăm un exemplu simplu pentru a discuta mai concret.

Deci să luăm oscilatorul armonic pe care l-am studiat intensiv

atât în lecțiile de unde mecanice cât și în alte lecții.

Ecuația de bază a oscilatorului mecanic este masa ori acelerație egală cu forța elastică, FE.

Scrind explicit, avem următoarea ecuație,

masa mulțită cu derivata de ordinul 2a elongație, în raport cu timpul,

plus constanta elastică mulțită cu elongația, egal cu 0.

În primul rând, să notăm că această ecuație este diferențială,

avem derivate, dar lineară.

Asta înseamnă...

Lineară nu înseamnă că ordinul derivatei trebuie să fie 1.

Trebuie să faceți diferența între ordinul derivatei, care este 2,

și puterea derivatei, care este 1.

Deci derivata de ordinul 2a elongație, în raport cu timpul, are puterea 1.

Și acest lucru este important.

După cum bine știm, această ecuație

rezultă în soluția pentru elongație ca funcție de timp,

care este scris aici.

Amplitudină mulțită cu sinus de Ωt plus Φ0,

unde pulsația Ω este definită ca radical din k împărțit la m,

și faza inițială Φ0 este legată de condițiile inițiale,

și anume Y0 și V0.

Derivând această soluție, obținem ecuația pentru viteză,

ca funcție de timp,

și anume Ωa cosinus de Ωt plus Φ0.

Putem elimina timpul ca și variabilă din aceste două ecuații,

și obținem ecuația elongației ca funcție de viteză,

care este ecuația unei elipse.

Se introduce așa-numitul spațiu al fazelor,

care este sistemul cu 2N dimensiuni,

poziții viteze, deci de aceea 2N,

N fiind numărul de oscilatori,

spre exemplu, în cazul acesta.

Dacă avem N oscilatori,

vom avea un sistem cartezian cu 2N axe,

2N dimensiuni,

pentru fiecare oscilator, având o pereche de axe,

una pentru elongația lui și una pentru viteza lui.

Evoluția în timp a acestui sistem

va genera o traiectorie unică în acest spațiu al fazelor.

Deci aceasta este o modalitate geometrică

prin care putem vizualiza evoluția temporală

a stării unui sistem.

În cazul oscilatorului armonic,

acest spațiu al fazelor

va conține o traiectorie

care este o elipsă.

Deci este spațiul cu axele Y și V.

Dimensiunea elipsei pe axe vitezei va fi omega A

și pe axe elongației va fi amplitude A.

Haideți să continuăm discuția acestui spațiu al fazelor.

Un mic comentariu înainte de acest lucru.

Spațiul fazelor este folosit în teoria chaosului

și mai puțin în fizica clasică.

Îl introducem folosind noțiuni simple de fizica clasică

și în care aceste traiectorii din spațiul fazelor

vor fi foarte simple pentru a înțelege noțiunile.

Dar tocmai pentru că ele sunt așa de simple

în cazul fizicii clasice, ele sunt mai puțin folosite.

Deci rare ori vom folosi spațiul fazelor

pentru a studia oscilatorul armonic

deși, după cum vedeți, o putem face.

Dar comportarea pe care o obținem este suficient de simplă

pentru a nu insista foarte mult.

Totuși, aceste noțiuni devin foarte importante, esențiale

în studiul comportamentelor chaotice

și de aceea le introducem.

Deci spațiul fazelor și, în particular,

noțiunea de attractor din spațiul fazelor.

Iarăși vom da două definiții și apoi vom folosi un exemplu

pentru a explica definițiile.

Se numește attractor în spațiul fazelor.

Setul de puncte care corespund unor stări

din spațiul fazelor spre care evoluează un sistem,

adică spre care se îndreaptă toate traiectorii.

Vedeți deja cât de puternic este această noțiune.

Adică dacă putem găsi un astfel de punct

sau set de puncte spre care toate traiectoriile

de evoluție în timp ale tuturor sistemelor

de un anumit fel se îndreaptă în final,

acești attractori vor avea o putere

de predictibilitate foarte mare.

Putem spune unde se duc toate sistemele de acel tip.

Se numește bazinul attractorului.

Mulțimea stărilor inițiale

din care sistemul evoluează către acel attractor.

De unde plecăm ca să ajungem în acel attractor,

în acel punct final al evoluției.

Ca să explicăm concret, din nou folosim un exemplu simplu

și anume cel al oșilatorului armonic amortizat.

Adică pe lângă forța elastică avem și o forță rezistivă.

Acest exemplu, acest oșilator armonic amortizat,

iarăși a fost discutat în cadrul lecțiilor

de oscilații mecanice.

Ecoația devine masa ori derivata de ordinul 2

a elongației în aport cu timpul

plus constanta R a forței rezistive

mulțită cu viteza care este derivata de ordinul 1

a elongației în aport cu timpul

plus constanta elastică mulțită cu elongație

egal cu 0.

Iarăși, ca și comentariu,

aceasta este o ecoație diferențiară liniară.

Diferenția, diferențiale sau derivatele

au ordine diferite,

dar puterea lor este întotdeauna 1.

Derivata de ordinul 2 are puterea 1,

derivata de ordinul 1 are puterea 1

și derivata de ordinul 0, adică funcția în sine y de t,

are tot puterea 1.

Aceasta este o ecoație diferențiară liniară.

După cum bine știm,

atunci când o rezolvăm,

obținem următoarea soluție pentru

elongația y a funcției de t,

și anume amplitudinea

la momentul t0

egal cu 0,

mulțită cu o exponențială

de minus alpha t,

unde alpha se numește

coeficient de amortizare

și este definit ca r

împărțit la 2m,

mulțit cu funcția sinusoidală,

periodică, sinus de omega t plus phi 0.

Din această ecoație pentru y de t

se poate deriva imediat și ecoația

pentru v de t,

care este derivată în raport cu timpul.

Nu o scriu pentru că este mai complicată.

Ce este important este că

odată ce avem ecoațiile pentru

y de t și v de t,

putem desena

traiectoria în spațiu fazelor

acestui sistem.

Oscilatorul armonic

amortizat. Deci avem viteza

pe o axă și

elongația pe cealaltă axă.

Deci avem niște condiții inițiale

v0, y0

și plecăm

ca și în cazul oscilatorului

armonic pe o elipsă,

dar deoarece această elipsă este amortizată,

ea se transformă

într-o spirală.

Deci vom obține

ceva de genul acesta.

În final, oscilațiile

sunt complet amortizate.

Elongația devine 0,

oscilatorul se oprește

și viteza devine

și a 0. Deci în final,

din aceste ecoații

obținem că starea

finală a sistemului

este originea

spațiului fazelor.

În concluzie, atractorul

sistemului este acest punct.

traiectoriile

oscilatorilor

armonice amortizați,

această traiectorie poate pleca

din alt punct inițial. Deci putem pleca,

spre exemplu, din această stare inițială

și dezvolta

o altă traiectorie.

Dar toate aceste traiectorii

se vor termina în final

în același punct.

De aceea, pentru

orice oscilator armonic amortizat

care are orice masă,

constantă a forței de rezistive,

orice constantă elastică și

orice

condiții inițiale,

adică Y0V0,

starea finală este unică.

Acest punct. Toate

se termină în acest punct.

De aceea, el se numește

atractorul oscilatorului

armonic amortizat.

Două comentarii. Din nou,

evident,

această afirmație

este destul de simplă.

Adică,

bineînțeles că știam că un oscilator

armonic amortizat

se termină

în punctul de elongație și viteză 0.

Deci, este o afirmație trivială.

Totuși, ideea de bază

este că în acest

spațiu al fazelor în care

studiem evoluția

temporală a sistemului,

aceste traiectorii de evoluție,

putem defini astfel

de puncte care, în cazuri

netriviale,

adică mult mai greu

de anticipat,

în ce stare

finală va ajunge sistemul,

aflarea

acestor attractori, derivarea lor,

sau simularea lor, măcar pe calculator,

va avea o putere predictivă,

de predictibilitate foarte mare.

Bazinul attractorului este mulțimea

stărilor inițiare din care sistemul

evoluează către

acest attractor. Deci, de unde

putem pleca pentru a ajunge aici?

Ar putea părea

că bazinul attractorului,

acestui attractor pentru oscilatorul

amonic amortizat, este tot

spațiul fazelor.

Totuși știm că nu este adevărat

pentru că dacă

elongația este

prea mare, spre exemplu, știm

că

oscilatorul nostru își

pierde proprietatea

de a fi elastic, intrând

într-un regim de plasticitate.

Și în acel

caz, deci pentru elongații

inițiale prea mari,

de fapt nu mai ajungem în starea

0-0

pentru viteză și elongație,

ci datorită faptului

că oscilatorul sau resortul

își pierde elasticitatea,

el se oprește undeva

în altă poziție.

Deci,

attractorul va fi diferit

și bazinul de

bazinul attractorului, în

consecință, este limitat. Există numai

un anumit spațiu

sau subspațiu

din spațiul fazelor

în care ajungem în final

în acest punct.

Există mai multe tipuri

de attractori

în cazul fizicii

clasice. El

este cel mai simplu

tip de attractor. Este un attractor

fix. El are o poziție fixă

în spațiul fazelor. Putem avea

și attractori periodici

care

cu o anumită perioadă

își schimbă poziția.

Totuși, în teoria

haosului, după cum vom

vedea lecția viitoare,

nu avem

de obicei niciunul din aceste tipuri

de attractori, ci attractori

cu comportare mult mai

impredictibilă.

O ultimă discuție în această

lecție este cea în legătură

cu sensibilitatea

la condițiile

inițiale

ale ecuațiilor

de propagare și ale

traiectoriilor din spațiul fazelor

în consecință.

Aceasta se referă la evoluția

sistemului care

poate fi complet diferită

pentru condiții inițiale

aproape identice.

Haideți să dăm un exemplu iarăși simplu

din mecanica clasică pentru a înțelege

acest concept

fundamental.

Trebuie să considerăm

o cuvă

în care

în vârful uneia dintre

cele două ramuri punem o bilă

care o lăsăm liberă

sau îi dăm un mic impuls

inițial, V0.

Evident ce se va întâmpla

bila va cădea

și va executa o

oscilație armonică

în jurul

punctului de echilibru care este

punctul de înălțime minimă

sau de la baza

acestei cuve.

Această traiectorie

va fi una cu

o mică sensibilitate

la condiții inițiale. Asta înseamnă

că dacă schimbăm condiții inițiale,

punem bila un pic mai jos,

obținem aceeași traiectorie

cu aceeași perioadă, cu aceeași

rație, deci soluțiile

ecuațiilor de

propagare vor fi practic aceleași.

Aceasta se numește

o comportare a

sistemului cu o sensibilitate

mică la condiții inițiale. Schimbarea

condițiilor inițiale

schimbă, bineînțeles, oarecum

soluțiile finale

sau traiectoriile în spațiul fazelor

ale sistemului,

dar nu într-un mod

semnificativ diferit.

Haideți să modificăm acum

situația și să adăugăm

următoarea

conformare,

conformație sau

formă a cuvei noastre.

Deci o cuvă mai complexă

în care avem

două minime majore,

dar și un minim

mai mic.

În acest caz vedem că

sistemul nostru clasic

își schimbă

în mod fundamental sensibilitatea

la condiții inițiale, adică

să notăm cu Y

coordonata

orizontală. Dacă

plecăm din acest punct,

sistemul va oscila

în cuva

din dreapta

sau în acest

vale

din dreapta, dar dacă

modificăm Y0

foarte puțin și plăsăm

bila un pic mai spre stânga,

atunci ea

va oscila în valea mică.

Să notăm văile

1, 2 și 3.

Deci la o mică modificare

al Y0,

în loc de oscilația

cu parametrii corespunzători

din valea 3, vom obține

oscilația din valea 2.

Mai mult decât atât,

dacă păstrăm aceeași poziție

ușor modificată

către stânga,

deci același Y0

aici,

ca poziție inițială,

dar în loc de

o mică viteză inițială,

vom imprima o viteză inițială

V0 foarte mare,

atunci din nou se modifică

comportamentul sistemului

și anume nu mai obținem

o oscilație în valea 2, ci pur și simplu

bila va trece prin valea 2

și va ajunge în valea 1,

unde în funcție de mărimea acestui

V0 va oscila sau

va avea suficientă energie

cât să revină în 2.

În consecință, pentru acest tip de

sistem, sensibilitatea

la condițiile inițiale

este foarte mare. La mici

variații ale lui Y0

și V0, putem obține

comportamente cu totul

diferite și în consecință

traiectorii

în spațiul fazelor cu totul diferite.