Determinism impredictibil în teoria haosului. Geometrie fractală.

În cea de-a doua lecție, despre elemente de teoria Haussului,

continuăm discuția din lecția trecută,

precizând de data aceasta ce înțelegem prin teoria Haussului, în general,

și apoi vom discuta despre geometria fractală, care este o ramură a teoriei mai generale a Haussului.

În lecția trecută am folosit mecanica clasică

pentru a defini noțiunile de determinism predictibil și impredictibil

și pentru a introduce noțiunile de spațiu fazelor și atractorii.

Putem acum trece la primele noțiuni foarte generale de elemente de teoria Haussului.

În primul rând, Haussul este definit ca și comportarea deterministă, dar impredictibilă, a unui sistem.

Deci, cuvântul cheiei este impredictibilitatea.

Mai concret spus, Haussul, în matematica și știința modernă, nu înseamnă aleatoriu.

O comportare haotică nu înseamnă aleatorie, ci impredictibilă, dar deterministă.

Mai exact, știm toate ecuațiile de bază, în principiu cunoaștem comportarea sistemului în elementele sale de bază,

dar el este atât de complicat, încât rezolvarea ecuațiilor devine foarte dificilă,

de multe ori imposibilă, ducând la această impredictibilitate.

Deci, Haussul, pe scurt, înseamnă determinism impredictibil a unui sistem.

Motivele pentru care această comportare haotică, după cum am spus, determinist impredictibilă a unui sistem,

sunt următoarele, cele opuse motivelor pentru care un sistem din fizica clasică este predictibil.

După cum am discutat lecția trecută, motivele sunt următoarele.

Ecuațiile diferențiale nu mai sunt liniare, ci devin neliniare.

Asta înseamnă că puterea derivatelor devine mai mare decât unul.

Spre exemplu, în lecția trecută, am considerat un oscilator armonic care este un sistem predictibil.

Oscilatorul armonic are următoarea ecuație, masa înmulțită cu derivata de ordinul 2 a elongației în raport cu timpul,

adică accelerația oscilatorului plus forța lui, care este constanta elastică înmulțită cu elongația, este egal cu 0.

Deci aceasta este ecuația unui oscilator armonic.

După cum am văzut, comportarea lui, bineînțeles, este predictibilă în sensul că putem rezolva această ecuație în toate condițiile,

inițiale sau cu orice variație a parametrilor m și k.

Un exemplu de sistem chaotic ar fi un sistem în care puterea derivatei ar fi de ordinul 2, adică accelerația n-ar mai fi 1, ci ar fi, să zicem, 3.

Și, de asemenea, puterea elongației în sine, care, să zicem, este derivata de ordinul 0, adică funcția în sine, n-ar mai fi nici a 1 și ar fi, să zicem, 2.

Acest sistem, un sistem care ar avea, la bază, care ar fi descris de un astfel de ecuație, adică o ecuație diferențială neliniară, ar fi un sistem chaotic,

adică cu o comportare impredictibilă în timp.

După cum iarăși am discutat în detaliu în lecția trecută, o caracteristică tipică a sistemelor chaotice este instabilitatea față de parametrii și condițiile inițiale.

Condițiile inițiale, în cazul acesta, în exemplu acesta, ar fi setul inițial v0, y0.

Ca să rezolvăm o ecuație, ne trebuie condițiile inițiale, adică valorile vitezei și elongației la un moment dat t0, iar parametrii, în acest caz, sunt k și m.

Instabilitatea înseamnă că o variație mică a unuia dintre acești patru parametri duce la o variație foarte mare, exagerată, a soluțiilor y, t.

Deci, o variație mică a lui v0, y0, k sau m duce la o variație mare în soluția y, t, adică elongația ca funcție de timp.

Aceasta este instabilitatea față de parametrii și condițiile inițiale.

Consecințele unor astfel de ecuații și astfel de comportări ale soluțiilor sunt traiectorii în spațiul fazelor complicate, bifurcate și necorelate.

Adică, dacă luăm un astfel de sistem și îi reprezentăm evoluția în timp prin aceste traiectorii în spațiul fazelor, care este spațiul viteză-poziție, vr,

sau în notația oscilatorului armonic, poziția este elongația y, deci vy, nu vom mai obține acele curbe simple și simetrice din cazul mecanicii clasice,

pe care am văzut în lecția trecută, ci comportări foarte complicate, care au bifurcații, deci traiectoriile sunt foarte complicate și nu sunt unice.

Deci, pe măsură ce sistemul evoluează, el se poate bifurca în vari puncte în comportări necorelate.

Aceasta implică, printre alte lucruri, această instabilitate față de parametrii și condiții inițiale.

Spre exemplu, condiția inițială este punctul de plecare a unei traiectorii.

Ei, în cazul unei astfel de traiectorii, dacă plecăm dintr-un punct foarte puțin diferit, deci un pic mai la stânga sau mai sus în spațiu fazelor,

putem geni stări finale foarte diferite pe una din traiectoriile care s-au bifurcat.

Deci acest sistem devine greu predictibil sau impredictibil pe măsură ce evoluează, traiectoria lui devenind din cinci ce mai complicată

și, dacă vreți, într-un limbaj mai puțin academic, mai stufoasă în felul în care arată această traiectorie în spațiul fazelor.

Există atractori în cazul sistemelor haotice, dar ei vin așa numiți atractori strani,

adică care sunt mult mai greu de prezis, locația lor și bazinul lor de atracție, în limbajul pe care l-am definit în lecția trecută,

sunt greu de definit și studiat.

În general, teoria haosului și studiile sistemelor haotice se fac prin simulări pe sisteme de calculatoare,

deci se fac calcule destul de intense pentru a putea obține un anumit nivel de predictibilitate a unui sistem haotic.

Soluțiile analitice, prin rezolvarea ecuațiilor, fiind foarte greu de obținut sau aproape niciodată posibil de obținut.

Aplicațiile teoriei haosului sunt foarte multe, fiind unul din domeniul cu cea mai mare rată de extindere,

de dezvoltare în ultimele decenii.

Aproape orice domeniul al științei sau tehnologiei având aplicații din teoria haosului.

Meteorologia, seismologia, economia, biologia și așa mai departe, am numărat numai câteva.

Spre exemplu, în economie au fost și sunt încercări de a simula cât de cât pe cât posibil comportarea unei burse de acțiuni.

Bineînțeles că modalitatea în care diferitele agenții de vânzare și cumpărare de acțiuni acționează este deterministă,

se face după anumite principii.

Dar sistemul luat ca un total, sau un totalul lui este atât de complex încât el devine haotic.

Totuși putem folosi elemente de teoria haosului în încercarea de a obține anumite, o anumită predictibilitate,

anumite predicții despre evoluția viitoare a sistemului.

Spre exemplu, dacă am reușit să ghicim măcar anumiți atractori stranii,

asta ar fi foarte util în studierea unui sistem economic sau unui sistem biologic foarte complex,

sau în seismologie, spre exemplu, s-ar putea încerca obținerea predictibilității unei falii ce produce cu tremuri.

Ca să citez un fizician faimos al secolului nostru și al secolului trecut și anume Stephen Hawking,

el a spus în secolul trecut că noul secol, adică secolul 21 în care ne aflăm, va fi secolul complexității,

a studiului sistemelor complexe care se face cu ajutorul teoriei haos.

Să trecem la geometria fractală.

Geometria fractală este o ramură a acestui domeniu a matematicii care se numește teoria haosului.

Să dăm câteva definiții și apoi vom lua, ca de obicei, un caz concret prin care explicăm aceste definiții.

Geometria fractală studiază forme geometrice cu aspect neregulat atât în spațiu cât și în timp,

adică în dezvoltarea lor, evoluția lor în timp,

dar cu proprietatea foarte importantă pe care o vom explica de autosimilaritate.

Deci aceasta este o proprietate de bază în geometria fractală.

S-a demonstrat matematic că orice imagine din natură poate fi reprezentată prin acești fractali,

pe care îi vom vedea imediat.

Adică forma unui nor, forma unui arbore în detaliul ei, forma unei frunze,

de exemplu de stejar care are o formă complicată și așa mai departe,

poate fi reprezentată întotdeauna printr-un fractal, iar aceasta este o teoremă matematică.

Ce e fractalul?

Fractalul este o formă geometrică, precum triunghiul sau sfera sau ce formă geometrică doriți dumneavoastră,

e o formă geometrică obținută prin aplicarea unui număr infinit de iterații sau repetiții

al aceluiași algoritm simplu.

Deci plecăm cu un algoritm simplu și îl aplicăm foarte foarte des, de foarte multe ori,

din această modalitate de obținere a acestei forme geometrice, rezultând această proprietate de autosimilaritate.

Haideți să dăm un exemplu și să vedem concret cum arată un fractal.

Deci exemplul pe care îl dăm este așa numitul fractal Koch,

pe care îl vedeți în această imagine, în această poză, pe care v-am explicat imediat.

Deci, după cum am spus, un fractal pornește de la un algoritm simplu.

Deci vă rog să vă uitați la prima imagine, cea mai simplă, care este pur și simplu un triunghi echilateral.

De aici pleacă fractalul Koch.

Algoritmul este următorul.

Împărțim fiecare latură, fiecare din cele trei laturi ale unui triunghi echilateral, în trei părți egale.

Spre exemplu, luăm această latură și o împărțim în trei segmente egale.

Din cele trei segmente egale, luăm segmentul din mișloc și îl înlăturăm.

În locul lui generăm sau punem un triunghi echilateral.

Deci este ceea ce vedeți în cea de-a doua imagine.

Deci pe latura din stânga avem un triunghi echilateral, a cărei laturi sunt egale cu baza,

pentru că e echilateral și prin construcție și cu celelalte două laturi care au rămas din latura inițială.

Deci aceasta este prima iterație a algoritmului din fractalul Koch.

Deci k="1", primul pas.

Apoi se repetă același algoritm.

Adică se ia din fiecare triunghi echilateral.

Dintr-o dată, în loc de un triunghi echilateral, avem unu, doi, trei, patru, cinci, șase triunghiuri echilaterale.

Deci în fiecare astfel de triunghi echilateral, să luăm pe acesta de sus, se ia fiecare latură liberă.

Deci avem aceste două laturi libere.

Se ia fiecare latură, se împărei segmente egale, se înlătură segmentul din mijloc și se înlocuiește cu un triunghi echilateral.

Și obținem acest mic triunghi echilateral aici și toate celelalte.

Această formă este geometrică, este iterația de ordinul 2 a fractalului Koch.

Apoi, bineînțeles, următoarea imagine, cea de-a patra, este iterația de ordinul 3 a fractalului Koch, în care algoritmul este identic.

Se ia fiecare triunghi echilateral, nu le mai număr sunt foarte multe.

Deci, spre exemplu, se ia acest mic triunghi echilateral de aici.

Și fiecare din cele două laturi libere ale lui se împarte în trei segmente egale, cel din mijloc fiind înlocuit cu un mic triunghi echilateral,

obținându-se această formă foarte complicată.

Deci, vedeți, de așa sper, că am explicat suficient de concret noțiunea de haos,

vedeți cum anume, în geometria fractală, se generează haosul prin un sistem foarte complex,

dar care pornește de la o idee deterministă simplu.

Deci, avem un algoritm care, trebuie să recunoașteți, este foarte simplu de înțeles de unde am plecat.

Totuși, după un număr mare de iterații, deci după o evoluție complexă a unui sistem la bază simplu,

se obține o formă, aparent, destul de greu de înțeles, destul de complexă.

Acesta este fractalul.

Fractalul final Van Gogh este obținut după un număr foarte mare,

deci când K devine foarte mare în principiu infinit.

În ultimul desen, vedeți o bucată lărgită, o anumită bucată, o anumită parte a fractalului Van Gogh,

după un număr foarte mare de iterații.

Deci luăm acest fractal Van Gogh după K egal cu, să zicem, 30-40, deja e un număr mare,

și lărgim o mică parte a lui.

Și aici, în acest moment, putem explica ce este autosimilaritatea.

Autosimilaritatea este faptul că forma geometrică foarte complexă obținută,

e de fapt, dacă mărim cu o lupă o mică bucată a fractalului,

observăm că el este în sine o formă, este fractalul la o iterație mult mai mică.

Deci o bucată din fractalul pentru K egal cu 30 va fi foarte similar sau identic cu fractalul K egal cu 3,

sau o iterație mai mică.

Deci el pur și simplu se dezvoltă și se complexifică repetând aceiași formă geometrică simplă

într-un număr foarte mare de iterații.

Fractalul Van Gogh e o curbă continuă pentru un număr K infinit sau foarte mare.

Această linie devine o linie continuă, o curbă continuă,

dar nu admite tangentă în niciun punct, deoarece ea este de fapt obținută din linii frânte,

care are această proprietate evidentă de autosimilaritate.

Mici bucăți din el, din fractalul pentru K egal cu infinit,

de fapt fiind forma fractalului pentru un K mult mai mic.

Acest fractal Van Gogh este folosit pentru a descrie geometria proceselor de cristalizare.

De așa puteți vedea că forma lui seamănă foarte mult cu cea a unui fulg DNA.

În general, variante ale fractalului Van Gogh sunt folosite în descrierea geometriei

obținute în procesul de cristalizare a diferitelor substanțe.