Comparaţie: oscilaţii electromagnetice versus oscilaţii mecanice.

În cea de-a doua lecție despre oscilații și unde electromagnetice,

vom face o comparație între oscilațiile electromagnetice și oscilațiile mecanice.

Vom vedea că, deși mecanismele ce stau la baza celor două fenomene,

oscilațiile electromagnetice și mecanice, sunt diferite,

totuși formalismul matematic ce descrie ambele tipuri de oscilații

este identic, odată ce realizăm corespondența între câteva mărimi fundamentale.

Haideți să vedem acest lucru.

Deci, ce vom vedea în această lecție este un tabel mai lung

în care comparăm diferite mărimi și procese ce au loc în cele două tipuri de oscilații.

Pornim de la sistemul fizic

ce este folosit în descrierea ambelor sau fiecărei tipuri de oscilație.

În cazul oscilațiilor mecanice folosim așa-numitul oscilator armonic,

pe când, în cazul oscilațiilor electromagnetice, folosim circuitul oscilant.

Oscilatorul armonic este, în sensul cel mai general al cuvântului,

un sistem fizic a cărei mișcări se datorează unei forțe de tip elastic.

Bineînțeles, cel mai evident exemplu este un resort

cu o constantă elastică K de care este atașat un corp de masă M.

Dar, după cum am spus, în sensul cel mai general al cuvântului,

dacă sistemul asupra sistemului acționează o forță de tip elastic,

adică proporțională cu elongația,

atunci oscilațiile lui vor fi de tip armonic.

În cadrul circuitului oscilant,

sistemul de bază este format dintr-un condensator legat la o bobină,

care bobină poate fi reală și, de obicei, este reală,

în sensul că are o rezistență neneglijabilă.

Deci avem un condensator cu capacitatea C și o bobină cu inductanța L.

Și atunci energia inițială de pe condensator sub forma unei tensiuni la bornele lui

se descarcă prin bobină și aceasta dă naștere unui

curent oscilant de electroni în acest sistem.

Am vorbit, lecția trecută, despre acest lucru.

Primele două mărimi și mărimile fundamentale ce descriu oscilațiile

sunt, în cazul oscilatorului armonic, elongația.

Elongația se notează cu Y și are următoarea formă,

amplitudinea A, care e elongația maximă, mulțită cu sinus de pulsația omega

ori timpul plus o fază inițială fizeală.

Sarcina electrică, în cazul circuitului oscilant, are o formă identică,

cu excepția faptului că amplitudinea este înlocuită cu sarcina maximă.

Deci prima corespondență ce o realizăm este cea între elongație și sarcină electrică.

Ca și comentariu, această ecuație a sarcinii electrice ne arată de ce

acest circuit oscilant se comportă oscilator.

Pentru că dacă considerăm un punct oarecare din interiorul circuitului oscilant,

de pe un conductor, spre exemplu, și ne uităm la sarcina electrică,

ca funcție de timp ce trece prin acest punct și ea fiind dată de această ecuație,

observăm că această sarcină electrică are un comportament oscilant.

Ea oscilează în timp prin întrecerea ei prin punctul considerat.

Următoarea corespondență ce poate fi realizată imediat plecând de la

corespondența elongației sarcină electrică este cea între viteza de oscilație și curentul electric.

Viteza de oscilație este variația elongației în unitatea de timp.

Curentul electric este variația sarcinii în unitatea de timp.

Și, într-adevăr, când scriem formulele corespondente, observăm că ele sunt

identice, cu excepția faptului că amplitudinea este din nou înlocuită cu sarcina maximă.

Deci, următoarea corespondență este viteza de oscilație curent electric.

Haideți să vorbim despre pulsăția celor două sisteme oscilante.

În cazul oscilatorului armonic, pulsăția proprie este radical din constanta elastică împărțită la masa M.

În cazul sistemului sau circuitului oscilant,

pulsăția proprie este egală cu radical din 1 împărțit la L or C.

De aici deducem că se poate face corespondența între constanta elastică și inductanța L,

de asemeni, ba nu, scuzați, între masă și inductanța L și între constanta elastică și 1pc, inversul capacității.

Într-adevăr, când am definit inductanța și am discutat despre ea,

inductanța unei bobine se comportă într-un circuit de curent alternativ

într-un fel ce amintește de inerția unui corp în mecanică.

Deci masa, care e o proprietate de inerție, este într-un circuit de curent alternativ echivalentă cu inductanța.

De aici rezultă că forța elastică este echivalentă tensiunii condensatorului,

deoarece forța elastică este egală cu K or Y și respectând corespondențele stabilite până acum,

Y corespunde sărcinii și constanta elastică corespunde inversului capacității.

Deci forța elastică este echivalentul tensiunii condensatorului.

Iarăși, gândindu-ne la procesele ce stau la bază a celor două sisteme,

această corespondență are sens pentru că mărimea sau fenomenul ce stă la bază a oscilațiilor,

oscilatorului armonic, este forța elastică.

Ea generează aceste oscilații.

La fel, în cadrul circuitului oscilant, fenomenul sau mărimea ce stă la bază a oscilațiilor electromagnetice

este tensiunea inițială de pe condensator.

Următoarele proprietăți sau mărimi ce pot fi echivalate sunt forța de enerție cu tensiunea electromotoare indusă,

deja am vorbit despre această echivalență, masa cu inductanța și impulsul cu fluxul. De ce?

Forța de enerție este, prin definiție, masa ori accelerația,

care este egală cu masa ori variația vitezei la timp, în unitatea de timp,

și egală cu variația impulsului în unitatea de timp.

Asta datorită definiției impulsului ca masa ori viteză.

Dar, dacă ne uităm la tensiunea electromotoare indusă,

ea este egală cu inductanța mulțită cu variația intensității curentului în unitatea de timp.

Dar, știm deja că inductanța este echivalentă cu masa și curentul electric cu viteza.

Deci, comparând această ecuație cu această ecuație, vedem că ele sunt echivalente.

Asta înseamnă că forța care este egală cu acest produs este echivalentul tensiunii electromotoare induse.

Deci, forța este echivalentul tensiunii electromotoare induse sau tensiunii pe bobină.

De asemenea, știm că variația intensității curentului este egală cu variația fluxului împărțită la inductanță

datorită definiției inductanței.

Inductanța este introdusă ca coeficientul de proporționalitate dintre flux și intensitate.

Comparând din nou cu aceste ecuații, observăm că impulsul P al unui oscilator armonic este echivalentul fluxului.

Continuând, putem echivala energia cinetică cu energia magnetică și energia potențială cu energia electrică.

Iarăși folosim echivalentele deja stabilite.

Energia cinetică este definită ca mv², dar m se echivalează cu inductanța L, iar v se echivalează cu curentul electric.

Deci, mv² este echivalent cu Li².

În concluzie, energia cinetică a unor oscilații mecanice este echivalentă energiei magnetice.

La fel, elongația este echivalată cu sarcină electrică, deci y² este echivalent cu q², iar k este echivalent cu 1pc.

Rezultă că energia potențială a unui oscilator armonic este echivalentul cu energia electrică a unui oscilant.

Ultimele echivalențe sunt următoarele.

Întreg procesul sau ideea, întregul concept de conservare a energiei în cele două tipuri de sisteme fizice,

datorită următorului fapt.

Energia totală, în cazul oscilatorului armonic, este suma dintre energia cinetică și cea potențială, și e egală cu k a², și ea este o constantă.

În cazul energiei totale a circuitului oscilant, ea este egală, după cum am văzut, cu suma dintre energia magnetică și energia electrică,

și e egală cu sarcina maximă a², împărțită la 2c, care este o constantă.

Faptul că energia totală este o constantă, poate fi văzut în cazul oscilatorului armonic, făcând derivata energiei totale în raport cu timpul,

și obținem aceste două ecuații, care pot fi scrisi aceste două termeni a sumei,

și această formulă poate fi scrisă ca viteza mulțită cu masa ori accelerația plus k ori y.

Am folosit aici faptul că dy la dt este viteza, și deci avem viteză în ambele părți, dar masa ori accelerația plus ky este egală cu 0.

Acest termen este egal cu 0, deci acest termen este egal cu masa ori accelerația minus forța elastică și e egal cu 0.

La fel putem proceda în cazul circuitului oscilant, derivăm energia totală, obținem această sumă de două termeni,

iar apoi folosim faptul că variația sarcinii în unitatea de timp este intensitatea, obținem intensitatea curentului mulțită cu dy la dt plus qpc.

Dar acest termen este și ilegal cu 0, pentru că este egal cu minus ul plus uc, care este 0.

Vă aduc aminte? Din legea Faraday există un semn minus.

Deci putem face o echivalență directă între întreg procesul de conservare a energiei, atât formularea lui cât și derivarea lui între cele două sisteme.

Și în final, oscilații amortizate.

Oscilații amortizate apar în oscilatorul armonic când, pe lângă forța elastică, avem și o forță rezistivă care este proporțională cu viteza și de sens semn opus sau sens opus.

Există un coeficient de proporționalitate r și când rezolvăm această ecuație, adică scriem m masa ori accelerația, care este derivata de ordinul 2a elongației, plus r ori viteza, care este derivata de ordinul 1a elongației, plus ky egal cu 0.

Când o rezolvăm, obținem, după cum știm și am discutat, această ecuație a elongației oscilațiilor amortizate.

La fel, în cazul circuitului oscilant, oscilații amortizate apar atunci când bobina este una reală, adică are o rezistență sau, mai general vorbind, avem o rezistență r în circuit.

Și atunci ecuația care se scrie este că suma tensiunilor este egală cu 0.

Scriind explicit, obținem că ul, care este L di la dt, deci L, derivata de ordinul 2a saci în raport cu timpul, plus ri, care este r, dq ar trebui să fie aici, nu e elongația, deci dq la dt, plus q împărțit la c, care este uc, egal cu 0.

Rezolvând, iarăși, această ecuație diferențeală de ordinul 2, obținem această ecuație pentru sarcina în circuitul oscilant.

Și, din nou, vedem că avem o corespondență 1 la 1 între toate mărimile ce apar în cadrul ecuațiilor ce descriu oscilațiile amortizate.

Deci avem aceeași formulă, cu excepția faptului că amplitudinea este, din nou, q0, sarcina maximă în cadrul circuitului oscilant, și a0 în cazul oscilatorului armonic.

Apoi, mărimile caracteristice, și anume pulsatia, are aceeași formă și ajungem la acest coeficient de atenuare, Δ, care este dat de următoarele două ecuații.

În cazul circuitului oscilant, este rezistența în părțila 2R, și în cazul oscilatorului armonic, coeficientul R al forței rezistive, în părțila 2R.

De așa am făcut corespondența M echivalent cu L, rezultă că coeficientul R al forței rezistive este echivalentul rezistenței R, ceea ce iarăși, în mod evident, are sens.

Concluzie.

Undele electromagnetice și undele mecanice au exact aceleași ecuații dacă facem următoarele patru echivalențe.

Deci tot ce trebuie să înlocuim pentru a genera un set complet de ecuații, într-un caz din celălalt caz, este una sau mai multe din aceste echivalenți.

Elongația este echivalentul sarcinii electrice, masa este echivalentul inductanței, constanta elastică este echivalentul inversului capacității și coeficientul forței rezistive este echivalentul rezistenței.

O mulțime sau toate celelalte ecuații și formule pot fi deduse din acestea.

Spre exemplu, după cum am văzut, viteza este echivalentă cu intensitatea curentului, rezultă din prima echivalență, deoarece viteza este dy la dt, care va fi echivalent cu dq la dt.

Deci, dacă y este echivalent cu q, atunci dy la dt este echivalent cu dq la dt, deci viteza este echivalentul intensității curentului.

Alt exemplu să dăm, impulsul este echivalent cu fluxul.

Aceasta rezultă din faptul că k este echivalentul lui 1pc, inversului capacității, și y este echivalentul sarcinii electrice.

Scuzați, nu.

Impulsul este echivalent cu fluxul 1pc.

Rezultă din faptul că m este echivalent cu l și v este echivalent cu i.

Deci m este echivalent cu l și v este echivalent cu i, ceea ce tocmai am stabilit.

Asta înseamnă că m v este echivalent cu l or i, adică impulsul este echivalent cu fluxul.

Și ceea ce am vrut să spun înainte, k este echivalent cu 1pc și y este echivalent cu q.

Se traduce sau rezultă în faptul că forța elastică este echivalentă cu tensiunea pe condensator.

Și așa mai departe există un șir lung de formule ce putem deriva plecând de la aceste patru echivalențe.