Alte interferometre cu interferenţă nelocalizată: Lloyd şi Fresnel.

În cea de-a treia lecție de optică ondulatorie vom discuta despre interferometrele LOID și FRENEAT.

Oglinda LOID sau interferometrul LOID obține unde coerente prin reflexie pe oglindă, așa cum se vede în această schemă.

Și anume avem o sursă S1 ce emite o rază de lumină care se reflectă pe oglinda orizontală desenată cu culoarea alb-vastru deschis.

Undele ce vin direct sau razele ce vin direct de la sursa S1 vor interfera cu razele ce vin de la sursa S1 prin reflexie.

Ele par că ar veni din sursa imagine a sursei S1 în oglindă, dar bineînțeles această sursă S2 este una virtuală fiind formată într-o oglindă plană.

Esențial în acest tip de dispozitiv sunt două lucruri.

În primul rând, faptul că cele două unde, cea directă și cea prin reflexie, sunt coerente, deoarece au aceeași pulsație, aceeași frecvență,

pentru că în fenomenul de reflexie al undelor nu se schimbă frecvența sau pulsația undei.

Deci, unda S1P și unda S1QP vor avea aceeași frecvență, deci vor fi coerente.

Cel de-al doilea lucru important este că în fenomenul de reflexie avem o pierdere de semiundă.

Am discutat despre acest lucru în lecțiile de unde mecanice și anume am spus că atunci când o undă este reflectată pe un mediu cu indice de refracție mai mare

sau, după cum discutam acolo, dacă aveam un nod la suprafața de reflexie, atunci are loc o pierdere de semiundă.

Acesta este cazul dispozitivului Lloyd pentru că indicele de refracție al oglinzii care e făcută din sticlă e mai mare decât cel al aer.

Deci, în acest punct avem o pierdere de semiundă pe care va trebui să o luăm în considerare când calculăm diferența de drum optic

între cele două raze ce ajung în punctul P și anume raza de lungime R1 S1P și raza de lungime R2 S1QP care este egal cu S2P deoarece S1Q este egal cu S2Q.

Deci, dorim să calculăm frangele de interferență pe ecranul E vertical prin suprapunerea celor două unde.

Distanța S1-S2 este notată cu 2L și poziția punctului P pe ecranul vertical față de axa dispozitivului care coincide cu oglinda o notăm cu Y.

Deci, păstrăm aceleași notații ca pentru dispozitivul Yang iar D este distanța dintre planul surselor și ecran.

Alpha fiind unghiul făcut cu axa orizontală și poziția P a punctului în care dorim să calculăm frangele de interferență.

Unghiul alfa este foarte mic pentru că întotdeauna D este mare comparat atât cu 2L, cu S1-S2, cât și cu Y.

Deci, identica discuție foarte similară cu cea pentru dispozitivul Yang.

În concluzie avem următoarele ecuații.

Y este egal cu D tangen de alfa.

Dar pentru un unghi alfa foarte mic, tangen de alfa este egal cu alfa, deci Y egal cu D alfa.

De asemenea, putem scrie că delta R este egal cu S2N minus lambda P2.

De ce? Haideți să discutăm această parte importantă a ecuației.

În primul rând, minus lambda P2 datorită pierderii de semiundă la reflexie.

Trebuie să ținem cont că, în momentul reflexiei,

unda reflectată pierde această distanță, lambda P2.

Deci trebuie luată în calcul.

Iar delta R este aproximativ egal cu S2N.

De ce spun aproximativ egal cu S2N?

Pentru că, pentru a fi foarte exacti, delta R, adică R2 minus R1, este următoarea distanță.

Trasăm un cerc cu raza R1, cu centrul în P și raza R1, ce trece prin S1.

Și atunci R1 va fi distanța dintre P și acest punct.

În concluzie, exact, vorbim foarte precis, delta R va fi S2, distanța dintre S2 și acest punct.

Dar, pentru valori alpha foarte mici,

deci dacă vă imaginați alpha devenind din ce în ce mai mic,

ce se întâmplă atunci este că P se apropie foarte mult de axă,

S1, S2 devine foarte mic și el,

și atunci, practic, dreptele R, S1, P, PM și PS2 tind să coincidă.

În acel caz, acest punct se apropie foarte mult de N,

și deci delta R devine aproximativ egal cu S2N.

În concluzie, delta R va fi aproximativ egal în această limită, alpha foarte mic,

cu S2N minus lambda P2.

Nu mai demonstrez de ce, pentru că am făcut-o în lecția trecută pentru dispozitivul Yang,

dar acest unghi, S2, S1, N este egal cu unghiul alpha,

și în concluzie S2N va fi 2L, adică S1, S2, înmulțit cu sinus de alpha.

În concluzie putem scrie că delta R este egal cu 2L alpha,

pentru alpha foarte mic, sinus de alpha este aproximativ egal cu alpha.

Deci aproximativ egal cu alpha, minus lambda P2.

Dar alpha poate fi extras din această ecuație și obținem că delta R este 2L,

înmulțit cu alpha, care este Y în părțila D, minus lambda P2.

În lecția trecută am stabilit că frangele luminoase, adică de intensitate maximă,

se obțin pentru delta R egal cu multiplu par de lambda P2.

Înlocuind în această ecuație rezultă că frangele luminoase se obțin în aceste poziții.

Multiplu impar de D lambda în părțila 4L

și, similar, frangele întunecate se obțin în poziții delta R

egale cu multiplu impar de lambda P2.

Rezultă că frangele întunecate, de aici numele minim,

sunt la un multiplu par de D lambda în părțila 4L.

Se observă că distribuția frangelor este inversă față de dispozitivul Yang.

Adică avem maxime la multiple impare, și nu pare, și invers pentru cele întunecate.

Și asta se întâmplă datorită faptului că avem o pierdere de semiundă prin reflexie.

Deci felul în care se obțin unde coerente în oglinda sau interferometrul Lloyd

este prin reflexie și nu prin separare,

iar prin reflexie avem această pierdere de semiundă,

ceea ce duce la inversarea frangelor luminoase și întunecate

vis-a-vis dispozitivul Yang.

Oglinzile Fresnel sunt tot o variantă a oglinzilor Lloyd,

dar în care folosim două oglinzi în loc de una.

Se obțin unde coerente tot prin reflexie,

dar pe două oglinzi, ce fac cu un unghi alfa foarte mic.

Schema este următoare.

Deci avem o sursă de lumină S și două oglinzi desenate cu albasul deschis și un ecran.

Ceea ce se întâmplă este că vom forma două imagini de data aceasta pentru sursa S.

O imagine S1 față de prima oglindă.

Deci pur și simplu avem un S1 la distanță egală față de prima oglindă.

Deci această distanță este egală cu această.

Și la fel avem un sursă S2 față de cea de a doua oglindă,

deci pe planul celui de a doua oglindă, care este albastru întrerupt aici,

desenul nostru, vom avea un S2.

Amândouă sunt surse imaginare.

Unghiul, din nou, dintre planele celor două oglinzi este alfa

și este foarte mic în acest dispozitiv.

Prin această construcție, OS, SO, va fi egal cu OS1.

Și la fel SO este egal cu OS2.

Datorită faptului că distanța lui S1 față de prima oglindă

este egală cu distanța lui S față de prima oglindă,

la fel și pentru cea de a doua.

Deci rezultă că avem această egalitate.

Dacă notăm cu R distanța SO,

O fiind vârful celor două oglinzi,

deci punctul de intersecție al celor două oglinzi,

atunci rezultă că cele trei surse, una reală și două imaginare,

se află pe un cerc de această rază.

Iar pentru valori foarte mici a lui alfa,

distanța dintre S1 și S2 este această rază R înmulțit cu alfa.

Haideți să vedem cum se formează interferența pe ecranul vertical,

în acest caz.

Desenul este complicat, dar ideea este relativ simplă.

Și anume că avem raze ce pornesc din sus a reală S

se reflectă pe prima oglindă și alte raze se reflectă pe cea de-a doua oglindă,

ele suprapunându-se în poziția ecranului

și formând în felul acesta interferențe.

Vrem să vedem unde avem franje luminoase și întunecate, ca de obicei,

ceea ce înseamnă că vrem să calculăm diferența de drum optic

între două raze ce ajung în același punct P.

În cazul acesta dorim să calculăm diferența S2P minus S1P.

Deci avem R1 este egal cu S1P

și R2 este egal cu S2P.

Și dorim să calculăm diferența de drum optic R2 minus R1

și apoi putem impune condiția de maxim și de minim.

Două comentarii.

În primul rând, bineînțeles că avem și aici pierderi de semiundă,

dar pierderi de lambda P2.

Dar pierderile de lambda P2 se întâmplă pentru amândouă undele,

pentru că amândouă undele ce ajung în P sunt reflectate.

Și în concluzie, când facem diferența,

această pierdere de semiundă se va simplifica.

Altfel spus, ar trebui să scriu

R1 este egal cu S1P minus lambda P2,

R2 este egal cu S2P minus lambda P2,

pentru a ține cont de aceste pierderi de semiundă,

dar oricum noi suntem interesați în R2 minus R1.

Și acest minus lambda P2 se va simplifica.

Acesta este primul comentariu.

Al doilea comentariu este că, bineînțeles,

undele reale, razele de lumină, sunt S, P,

vin din S, nu din S1 și S2.

Dar, geometric vorbind, putem folosi S1P,

pentru că SO este egal cu S1O,

sau, dacă notăm punctul de incidență de aici cu I,

SI este egal cu S1I.

Bun, cu aceste comentarii să calculăm.

În primul rând, notăm cu Y.

Poziția, ca și până acum,

Y este poziția punctului pe față

de axa de simetrie a dispozitivului,

ce trece prin mijlocul distanței S1 și S2.

Deci acesta este Y, iar acesta va fi D.

Distanța dintre planul surselor S1 și S2 și ecran.

Și, notând cu θ, pentru că am folosit alpha deja,

notăm cu θ acest unghi.

Și, deci, Y este egal cu d tangent de θ,

pentru valori mici a lui θ,

ceea ce se întâmplă când alpha este mic.

Y este egal cu d ori θ.

De asemeni, delta R

este egal cu S1S2 mulțit cu θ.

Demonstrația este identică,

deci nu voi insista asupra ei,

ca pentru celelalte interferometri, Yang și Lloyd.

Și anume, delta R este S2P-S1P și este acest segment.

Iar acest unghi este egal cu θ.

Deci rezultă că sinθ este delta R pe S1S2,

dar pentru valori mici a lui θ, sinθ este θ,

deci delta R este S1S2 mulțit cu θ.

Înlocuind S1S2 în această ecuație,

obținem că Y este egal cu d ori θ,

care este... θ este egal cu delta R împărțit la R alfa.

Deci Y, poziția punctului P,

este d împărțit la R alfa

mulțit cu diferența de drum delta R.

Iar la acest punct putem imediat calcula,

în acest moment, în demonstrație putem calcula poziția franjelor

luminoase și întunecate,

punând condiția ca delta R să fie

un multiplu par de semiunde,

obținem franjele luminoase.

Deci poziția franjelor luminoase va fi

un multiplu par de d lambda împărțit la 2R alfa,

iar acelor întunecate,

de la un multiplu impar de d lambda împărțit la 2R alfa.

Fresnel a introdus și un alt interferometru,

numit biprisma fresnel,

care obține unde coerente prin refracție,

nu prin reflexie, într-o prismă cu un unghi A foarte mic.

Unghiul A este unghiul de la bază.

Deci acesta este unghiul A, egal cu acest unghi aici, A.

Acest unghi A este foarte mic.

Și atunci undele ce pleacă din sursa S

se vor refracta și transmite

către ecranul vertical.

Bineînțeles că refracția este mai complicată,

razele sunt mai complicate în interior

decât am desenat eu, dar pentru unghiuri A foarte mici

putem neglija direcția

din segmentele razelor de lumină

din interiorul prismelor, pentru că ele sunt foarte scurte.

Deci considerăm numai prima refracție.

Și, bineînțeles,

dorim să calculăm ce se întâmplă

într-un punct P, adică

dacă obținem franje luminoase sau întunecate

într-un punct P aflat pe ecran

la o poziție Y, unde notăm din nou cu D

distanța dintre sursa S

și ecran.

Ceea ce se întâmplă este că franjele

care se formează prin suprapunerea

undelor

pot fi considerate ca profeniind de la

imaginele virtuale S1 și S2.

Deci, prin refracție

și prelungind razele

refractate, obținem poziția

unei surse imaginare S1 formate în prima prismă

a biprismei și o sursă imaginare

S2 formată în

cea de-a doua prismă a biprismei,

cea de jos.

După cum vedem, avem prelungirile a două raze

formate prin refracție în prima prismă

se întâlnesc și formează o sursă

sau o imagine a sursei S numită S1 și la fel S2.

Pentru a calcula

franjele luminoase

notăm

distanța S1-S2

cu 2L, poziția

punctului P față de axa

dispozitivului cu Y și de distanța

dintre planul surselor și ecranul E.

Iar cu alfa, unghiul cu care ne-am obișnuit

demonstrația este identică

de la punctul acesta cu cea pentru

dispozitivul Yang.

Deci voi trece foarte pe scurt peste ecuații,

ele sunt identice.

Putem scrie că Y este aproximativ

egal cu D ori alfa.

Y este D mulțit cu tangen de alfa

dar alfa este foarte mic, deci egal cu alfa.

De asemeni, putem scrie că

delta R

care pentru punctul P

este egal cu S2P-S1P

deci ne uităm la cele două surse

și la punctul P. Și delta R este

diferența de drum optic dintre

razele ce vin de la cele două surse.

Deci delta R este S2P-S1P

și el va fi egal cu S2N.

Celeași discuții, aproximativ

egal cu S2N.

Nu mai explic toate

aproximațiile făcute. Revedeți

discuția din cazul oglinzii Lloyd

sau din cazul interferometrului Yang

care este aproximativ egală din nou cu

2L-sinus de alfa

adică 2L-alfa.

Înlocuind

alfa din cele două ecuații, obținem

ecuația cunoscută, spre exemplu

pentru dispozitivul Yang, și anume că Y

este aproximativ egal cu D

împărțit la 2L îmulțit

cu delta R, în care

putem pune condiția de

franje luminoase sau întunecate

și obținem, evident, ecuația fiind aceleași,

obținem aceleași poziții ale franjelor

luminoase și întunecate ca și în dispozitivul Yang.

În concluzie, biprisma Fresnel

obține aceeași

distribuție a franjelor ca și în

cazul dispozitivului Yang.

Ecuațiile sunt identice.

Mecanismul de obținere a undei

de interferență este diferit. Nu separăm

unda inițială,

nu obținem două unde coerente prin

separare, ca în cazul dispozitivului Yang,

ci prin refracție.