Transcript: Transformările Galilei. Principiul relativităţii restrânse.

În prima lecție de teorie a relativității restrânse, vom discuta despre transformările Galilei și despre principiul relativității clasice,
adică vom porni de la lecțiile de mecanică clasică, făcute în clasa noua, în care se adresează noțiunile de spațiu și timp și proprietăți ale spațiului și timpului în fizica clasică,
urmând ca în lecțiile viitoare să extindem această discuție în cazul teoriei relativității restrânse.
Deci, transformările Galilei se referă la aceste proprietăți ale spațiului și timpului în mecanica clasică sau newtoniană și aceste noțiuni de spațiu și timp din mecanica clasică au la bază următoarele principii.
În primul rând, spațiul în mecanica clasică este considerat euclidean.
Asta înseamnă că poziția unui punct e dată de trei coordonate carteziene, de obicei sau în cazul normal notate cu x, y și z, și faptul că această poziție e independentă de timpul t.
Cea de-a doua afirmație sau principiul de bază este că spațiul e absolut.
Asta înseamnă că distanțele, lungimile, volumele sau unghiurile sunt independente de sistemul de referință pe care de acum înainte îl vom nota cu Sr, vom abrevia sistemul de referință cu Sr și timp.
Aceasta este o noțiune foarte uzuală și intuitivă și spune pur și simplu că, spre exemplu, dacă un băț are lungimea de un metru pentru mine, el va avea lungimea tot de un metru și pentru dumneavoastră și pentru un om care se plimbă într-un autobuz pe stradă și așa mai departe, toate acestea fiind sisteme de referință.
Deci, distanțele, lungimele, înălțimea unui obiect și așa mai departe sunt independente de sistemul de referință, de observatorul care face acea măsurătoare sau observații.
De asemenea, ele sunt independente de timp. Dacă bățul din mâna mea are un metru acum, va avea un metru și mâine și nu se va schimba această lungime în funcție de timpul în care se face măsurătoarea.
Al treia afirmație sau principiu este că și timpul este absolut.
Concluziile principale sunt că simultaneitatea a două evenimente și durata unui eveniment, adică intervalul temporal în care are loc un eveniment, sunt independente de sistemul de referință.
Dacă mie mi-a trei minute să cobor scările blocului, dumneavoastră care, să zicem, așteptați în fața blocului, veți cronometra tot trei minute, nu mai mult, nu mai puțin, a acelui ași eveniment sau proces și anume cel al coborârii scărilor.
Deci, timpul este independent de cine îl măsoară.
Timpul unui anumit proces.
Plecând de la aceste trei noțiuni simple, intuitive, dar esențiale, care descriu structura spațiului și a timpului în mecanica clasică, se pot deriva imediat transformările Galilei.
Și anume, considerăm două sisteme de referințe inerțiale.
Inerțial, vă readuc aminte din lecțiile de mecanică clasică, din clasa noua, înseamnă, simplu spus, neaccelerate.
În care primul sistem de referință, notat cu S, cel de coordonate OX, OY și OZ, deci acesta este sistemul de referință S, se află în repauz.
Și cel de al doilea, notat cu S', axele de coordonate OX', OY' și OZ' se află în mișcare rectilinie și uniformă, cu viteza V față de S.
Deci S' se află în mișcare, S se află în repauz.
Am considerat cazul mai simplu, în care cele două sisteme de coordonate au o axă, și anume axa X comună, iar viteza de deplasare a lui S', V, este de-a lungul lui X.
Generalizarea, fiind imediată, și o vom face.
Deci transformările Galilei se referă la relația dintre coordonatele și timpul din sistemul S' a unui punct P, deci considerăm un punct P care are o mișcare oarecare.
Deci coordonatele lui, a lui P, în sistemul S' sunt X', Y' și Z', iar timpul măsurat în sistemul de referințe S' va fi T'.
Și dorim să le relaționăm cu coordonatele aceluiași punct P, dar în sistemul de referințe S' X, Y, Z și T, plecând de la aceste proprietăți de bază ale spațiului și timpului pe care le-am postulat în cazul mecanicii clasici.
În primul rând, imediat din proprietatea treia, și anume faptul că timpul este absolut și anume durata unei evoluții a punctului P este independentă de sistemul de referință, matematic se scrie în felul următor.
Delta T' este egal cu delta T, deci durata unui proces, unei evoluții a punctului P, unei mișcări a lui, este independentă de sistemul de referință în care am măsurat această mișcare.
Asta înseamnă imediat că delta T' este egal cu delta T, ceea ce implică că T' este egal cu T, deoarece în toate situațiile particulare considerăm ca moment de start, moment inițial, momentul 0.
Deci T' este egal cu T, ceea ce nu spune decât că timpul măsurat într-un sistem este egal cu timpul măsurat în alt sistem pentru același proces, pentru o mișcare oarecare a punctului P în cazul nostru.
De asemeni din cea de-a doua realitate, și anume că spațiul este absolut, rezultă că delta X' este egal cu delta X și asta înseamnă că distanța parcursă de punctul P într-o mișcare oarecare este independentă de sistemul de referință.
Distanța parcursă este delta X' în sistemul S' și ea va fi egală cu distanța parcursă în sistemul S, care este delta X.
Din definiția acestei variații a poziției X, care este distanța parcursă, înseamnă că X'-X0' este egal cu X-X0, dar de data aceasta X0' și X0 nu mai sunt egale cu 0.
Mai exact, ele sunt legate prin această ecuație.
Pozițiile inițiale X0' și X0 sunt legate prin această ecuație, datorită faptului că sistemul S' se mișcă față de sistemul S cu viteza V.
Din această ecuație putem scrie că X' este egal cu X-X0' care este egal cu Vt.
Deci, această diferență între pozițiile inițiale este egală cu Vt.
De asemenea, putem scrie că Y' este egal cu Y și Z' este egal cu Z.
La fel, din proprietatea a doua, de aceea că spațiul este absolut, rezultă că ΔY' este egal cu ΔY,
dar în cazul considerat de noi nu avem mișcare, nu avem viteza sistemului S' pe axa Y și de aici va rezulta Y' egal cu Y și de asemenea Z' egal cu Z.
În concluzie, ecuațiile pentru transformarea galilei sunt următoare.
X' va fi egal cu X-Vt, Y' va fi egal cu Y, Z' egal cu Z și T' egal cu T.
Relații foarte simple.
Generalizând, dacă viteza V de deplasarea sistemului S' nu este de-a lungul lui X,
ce are componente pe toate cele trei axe, atunci obținem relațiile echivalente următoare.
X' va fi același, X minus componenta lui V de-a lungului X-T,
Y' va fi egal cu Y minus componenta lui V de-a lungului Y înmulțită cu T,
Z' va fi egal cu Z minus componenta lui V de-a lungului Z înmulțită cu T.
Generalizarea este evidentă, T fiind în continuare egal cu T'.
Deci T este egal cu T'.
Haideți să vedem ce concluzii, ce implicații au aceste transformări galilei în cinematica,
din punctul de vedere al schimbării sistemului de referință.
Deci plecăm de la transformările galilei și derivăm în raport cu timpul.
Deci luăm primele trei ecuații acestea și le derivăm în raport cu variabila T,
timpul în sistemul de referință S.
Și obținem așa-numita lege a componerii vitezelor.
Și anume, când derivăm în raport cu timpul prima ecuație,
obținem dx' la dt, egal cu dx la dt, minus V.
Și apoi, evident, aceste ecuații pentru Y și Z.
Deoarece T este egal cu T',
deci din această ecuație sau proprietate, obținem că dt' este egal cu dt.
Dacă timpul este invariant sau invariabil,
atunci și variația timpului va fi invariant la schimbarea sistemului de referință.
Asta înseamnă că putem înlocui dt cu dt'
în derivarea pozițiilor din sistemul S'.
Și apoi putem aplica, evident, definiția vitezei,
și anume, dx' la dt' va fi u'x, viteza de-a lungul axei x în sistemul S',
iar dx' la dt' va fi ux, viteza de-a lungul axei x în sistemul S.
Și obținem așa-numitele legi de compunere a vitezelor.
Deci ux' va fi egal cu x-v, uy' va fi egal cu y, uz' va fi egal cu uz.
Din nou, dacă în general viteza v de deplasare a sistemului de referință S'
față de sistemul S are o direcție oarecare,
atunci modificăm această ecuație și obținem
ux' este egal cu ux-vx,
uy' este egal cu uy-vy,
și, evident, uz' este egal cu uz-vz.
Câteva comentarii.
În primul rând, este evident că esențial în această derivare a fost faptul că viteza v
relativă a celor două sistemi de referință este constantă.
Am folosit-o când am făcut această primă derivare.
Am avut d la dt din v or t,
care este egal cu v mulțit cu d,
deci, haide să scriu, am avut d la dt din v or t,
pe care l-am scris ca v dt la dt,
care prin definiție este 1,
deci am obținut că este egal cu v aici.
Dar această ecuație este adevărată, bineînțeles, numai dacă v, viteza v, este o constantă.
În concluzie, această lege de compunere a vitezelor se referă numai la sisteme de referință inerțiale
sau neaccelerate, care au viteză constantă.
La fel de important, rezultă că spațiul și timpul sunt absolute în mecanica clasică,
după cum am văzut, dar rezultă că viteza este relativă.
Deci, viteza depinde de sistemul de referință în care o măsurăm.
Nu este independentă sau invariantă la alegerea sistemului de referință.
Aceasta datorită acestui termen "-v", sau în cazul general "-vx", "-vy", "-vz".
Și mai important este proprietățile,
sunt proprietățile accelerației la schimbarea sistemului de referință.
Deci, să derivăm din nou un raport cu timpul pentru a obține accelerația.
Când derivăm un raport cu timpul din sistemul de referință S,
obținem aceste ecuații.
"-v", dispare din nou pentru că este constant.
La fel, putem înlocui dt cu dt' în derivarea vitezelor din sistemul de referință S'
și obținem aceste ecuații care spun pur și simplu că a'x="ax", a'y="ay", a'z="az".
Deci, toate componentele accelerației sunt invariante.
Asta înseamnă că accelerația în sine, vectorul accelerației,
este invariant la schimbarea sistemului de referință.
Vectorul accelerației în sistemul S' va fi egal cu vectorul de accelerație în sistemul S.
Înmulțim cu masa și obținem invarianța forței F la schimbarea sistemului de referință.
Aceasta este un lucru esențial pentru că definiția forței F="ma",
este punctul de plecare al întregii dinamici din mecanica clasică.
Am obținut că întreaga dinamică clasică este invariantă,
nu depinde de sistemul de referință în care facem măsurătoare.
Acesta este măsurarea.
Acesta este principiul relativității a lui Galilei pentru mecanica clasică,
care spune că legile mecanicii clasice sunt aceleași în toate sistemele de referință inerțiale,
adică sunt invariante la aceste transformări Galilei care schimbă sistemul de referință,
de observare a unui proces în mecanica clasică.
Totuși, comentariul esențial și unul din punctele de plecare ale teoriei relativității restrânse
este că prin modalitatea în care am derivat acest principiul a relativității,
el nu este valabil pentru toate forțele, pentru toate principiile dinamice sau procesele dinamice.
Mai exact, principiul relativității clasice nu se aplică în următoarele cazuri.
Fenomenele disipative, forțele de frecare fiind cele mai simple exemple,
dar și alte fenomene de tip disipativ,
în general au o forță care depinde de viteză,
proporțional cu viteza, nu cu accelerația,
în care caz, după cum am văzut, viteza este relativă,
deci acest tip de fenomene, în principiu, ar trebui să fie variabile la schimbarea sistemului de referință,
deci nu respectă principiul relativității.
Mai mult decât atât și mai important din punct de vedere al aplicațiilor practice,
fenomenele electromagnetice, electromagnetismul în întregimea lui,
nu respectă principiul relativității clasice,
spre exemplu, deoarece forța electromagnetică asupra unei sarci în Q
este egală cu produsul vectorial dintre vectorul B, ce descrie câmpul magnetic,
și viteza V, iarăși viteza V este relativă.
Deci ar rezulta că întregul electromagnetism plus alte fenomene
sunt dependente de sistemul de referință,
deci dacă măsurăm curent electric dintr-un circuit,
stând în apartamentul dumneavoastră,
sau dacă măsurăm același curent electric din același circuit,
aflându-ne într-un avion în decolare,
în principiu ar trebui să obținem legi diferite,
ceea ce este o problemă fundamentală care trebuia rezolvată,
și este rezolvată, sau adresată,
de către teoria relativității restrânse.