Transcript: Rotaţia solidului rigid. Momentul forţei. Cuplul de forţe.

În cea de-a doua lecție de statică
vom discuta despre momentul forței și despre cuplul de forțe.
Să discutăm înainte despre mișcarea de rotație în jurul unei axe.
În lecția precedentă de statică,
pentru studiul echilibrului de translație,
am considerat puncte materiale
pentru a evita complicația mișcării de rotație
ce o impune acțiunea forțelor externe
asupra unui corp cu dimensiuni neneglijabile,
adică cu un volum.
Acum să considerăm cazul opus
și anume un corp cu dimensiuni neneglijabile
fixat pe o axă.
Bineînțeles, ce vom obține
este o mișcare de rotație
sub acțiunea forțelor externe în jurul acestei axe,
dar fără a avea și o mișcare de translație
datorită faptului că corpul este fixat.
Un exemplu foarte simplu de astfel de corp
este o ușă.
Deci, dacă acesta este o peretă,
și în punctul A avem o ușă fixată în balamale,
deci AB este o ușă,
atunci, dacă aplicăm o forță F
din anumită mărime,
obținem o rotație în jurul axei,
care în acest caz este perpendicular
pe ecran trecând prin punctul A
unde sunt balamalele, ușii,
dar fără a avea și o translație.
Deci obținem o rotație
a ușii în jurul axei
ce trece prin punctul A.
Un alt caz interesant ar fi
dacă luăm aceeași ușă
de aceeași dimensiune
prinsă în balamale în punctul A,
deci ușa AB
de aceeași lungime L,
dar în loc să aplicăm
forța F
la capătul B-lui și o aplicăm
mult mai aproape de balamale,
deci avem aceeași forță cu aceeași magnitudine,
dar aplicată la o distanță L
pe 4, un sfert din lățimea ușii.
Ce observăm este că obținem
o mișcare de rotație,
dar ea este mult mai înceată.
În final, să discutăm
un ultim caz, deci aceeași ușă
de aceeași dimensiune L
deci AB
lungimea ușii fiind aceeași L
și aplicăm o forță
de aceeași magnitudine F
dar perpendicular pe
axa ușii
deci forța F acționează
de-a lungul lățimii ușii.
Ce observăm este că în acest caz
nu obținem nicio rotație.
În concluzie,
rotația imprimată unui corp cu dimensiuni
neglijabile depinde atât de
magnitudinea forței aplicate,
de distanța dintre
forță și axul de rotație,
dar și de orientarea acestei forțe.
În concluzie introducem așa numitul
braț al forței, care este distanța dintre
dreapta suport a forței și axa de rotație.
Deci pentru fiecare caz
considerăm dreapta suport a forței
și axul de rotație, care din nou este
perpendicular pe ecranul dumneavoastră prin punctul A
și calculăm distanța dintre aceste două drepte.
În cazul A, brațul forței
este L.
În cazul B,
brațul forței este Lp4,
distanța dintre
dreapta suport a forței și axul
de rotație.
În ultimul caz,
dreapta suport a forței trece prin axul de rotație.
Deci brațul forței este 0.
Vedem că rotația
este proporțională cu
acest braț al forței.
În concluzie, introducem mărimea numită
momentul forței, care descrie
efectul de rotație al unui corp sub acțiunea
unei forțe externe. Și ea este
mărimea vectorială cu modul legal
cu produsul dintre forță și brațul forței, deci
m va fi f or d,
al cărei direcție este pe axa de rotație
și semnul ei va fi
dat de sensul rotației generate.
Haideți să explicăm un pic aceste lucruri.
Considerăm un corp
de dimensiuni oarecare
și formă oarecare
și o axă
ce trece prin el
pe care o notăm cu delta,
în care corpul este fixat. Deci corpul este fixat
printr-un mișloc oarecare
de-a lungul axei delta. Și aplicăm
întâi o forță F1
care are
un braț
de 1.
Bineînțeles, în acest
caz, momentul
forței M1
al forței F1 va fi
F1 d1. Considerăm
un sens de rotație pozitiv
și stabilim semnul
momentului forței în funcție de acest semn
convențional luat pozitiv. Deci față de
acest sens pozitiv luat,
momentul M1 va fi
pozitiv pentru că
rotația generată
de forța F1 va avea același sens.
După cum se vede, bineînțeles, din figură.
Pentru a exemplifica mai departe,
să luăm o forță F2
aici o forță F2
cu un braț d2
vedem imediat că
momentul forței F2
va fi produsul dintre F2 și d2
brațul ei, dar va avea un semn
negativ pentru că
rotația imprimată corpului de către forța F2
este de sens opus
sensului pozitiv. Deci,
cel mai important lucru și veți vedea de ce
în aceste două semne
și în general în semnul momentului forței
este semnul relativ
al celor două
momente sau al mai multor momente
în general. Pentru că
suntem interesați în sumă acestor momente
deci e important ca să obținem
semnul relativ între momentele
a doua forțe. Deci dacă prin convenție 1
este plus, după aceea important este
cum sunt celelalte momente pozitive
sau negative.
Alte comentarii importante
ar fi că dacă forța
este paralelă cu
axa de rotație delta, obținem
un moment egal cu 0.
De asemenea,
după cum am specificat
în discuția precedentă
despre rotația ușii,
dacă dreapta suportă a forței se intersectează
cu
axa de rotație, atunci din nou
momentul generat este 0.
Deci trebuie să reținem aceste două cazuri
în care momentul este întotdeauna 0.
Dreapta suportă a forței
paralelă cu axa de rotație sau
ce se intersectează cu axa de rotație.
Se numește
cuplul de forțe, un sistem
de două forțe paralele, de sens opus,
cu același modul, deci
F1 egal cu F2 și notat cu
F, aplicat aceluiași corp.
În cazul acesta
am avea, sau haide să
desenăm un nou corp pentru claritate.
Dacă avem un corp și o axă de rotație
se numește
cuplul de forțe, un sistem de două forțe
cu modul egal
dar cu sens opus
care acționează pentru a roti corpul
în jurul acestei axe.
Se numește brațul
acestui cuplu de forțe
distanța dintre dreptele suport
acelor două forțe. Se notează cu B.
Momentul cuplului notat cu MC
va fi
magnitudinea uneia din cele două
forțe egale înmulțită cu brațul
dintre cele două forțe.
Haideți să rezolvăm un exemplu
de momente ale forțelor
aplicate a unui corp.
Avem un corp de dimensiune și formă
două puncte
în interiorul acestui corp
notate A și B
și următoarele forțe
care acționează asupra lui.
Notăm cu L distanța dintre A și B.
Acesta este L.
Și avem următoarele forțe. În punctul A
forța F1, care este perpendiculară
pe AB și o forță F2
care face un unghi alfa
cu AB. În punctul B
avem o forță F3
perpendiculară pe AB
dar în punctul B
o forță F4 de-a lungului AB
și o forță F5
care face un unghi beta
cu dreapta AB.
Stabilim un sens
de rotație pozitiv prin convenție
și știm deci următoarele lucruri.
Că toate cele cinci forțe
F1, F2, F3, F4 și F5
se află în planul
ecranului.
Deci în planul
ecranului.
Știm magnitudele lor.
F1 este egal
cu 10 N.
F2 este egal cu 15 N.
F3 și F4 le luăm egal
și egal
cu 20 N.
Și F5
10 N.
Cunoaștem de asemeni unghiurile
alfa este egal
cu 45 de grade, beta
30 de grade
și distanța dintre
punctele A și B, notată din nou cu L
10 cm, care în notația științifică
este 10 la minus 1 m.
Notația științifică a fost descrisă
în prima lecție de cinematică.
Avem de asemenea două axe
de rotație. O axe delta
notată cu delta va trece prin punctul A
și perpendiculară pe planul ecranului.
Deci delta este prin A
și perpendiculară pe ecranul dumneavoastră.
Deci într-un fel vine spre dumneavoastră
din ecran și o axe delta prim
care trece prin
punctul B și la fel
perpendiculară pe ecran.
Și dorim să calculăm momentele
tuturor celor cinci forțe
față de cele două axe, delta și delta prim
și momentele totale.
Să începem cu axea delta.
Observând imediat
că momentele forțelor F1, F2 și F4
vor fi egale cu 0, pentru că dreptele
de suport ale acestor forțe se intersectează cu delta.
În particular, dreapta suport alui F4
este de-a lungului AB, deci se va intersecta cu
delta. Ele vor avea braț 0.
Deci momentul lor va fi 0.
Momentul lui F1
e egal cu momentul lui F2
e egal cu momentul lui F4
și e egal cu 0.
Momentul lui F3
față de delta
este egal cu minus F3
ori L.
Deci F3 este perpendicular
pe AB, deci brațul ei este chiar
distanța AB, L și sensul este
negativ pentru că, în mod evident, rotația
generată de F3 va fi în sens invers
sensului luat prin convenție, ca pozitiv.
Deci rotația este negativă.
Și obținem, calculând,
minus 2 N ori m.
Momentul forței F5
singura care a rămas decalculat
față de delta, va fi egal
cu plus
F5, L
sinus de beta.
Să vedem de ce.
Pentru a calcula brațul acestei forțe
luăm dreapta suport
a lui F5 și calculăm distanța față de delta.
Deci acest unghi este de 90 grade
acesta este unghiul beta
și deci dreapta suport va fi
să notăm cu AC
deci acesta este AC
dreapta suport
brațul forței F5
AC, care este L
sinus de beta.
Calculând, obținem plus 10
ori 10 la minus 1
sinus de 30 grade.
Adică plus 0.5
N ori m.
Acum suntem gata să calculăm momentul
total față de axa delta
care este suma
algebrică al tuturor momentelor
celor 5 momente ale celor
5 forțe.
Obținem că acest
moment față de delta este negativ și egal cu
minus 1.5 N ori m.
În concluzie
față de axa delta avem o mișcare
o rotație în sens contrar
sensului luat prin convenție pozitivă
și acum vedem de ce este important
semnul relativ al acestor momente
ale forțelor.
Nu contează în ce sens
alegem convenția, atât timp cât
avem semnele relative
corecte, pentru că atunci vom obține semnul
final corect față de convenția aleasă
și deci putem stabili fără echivoc
sensul rotației, ca în acest sens
opus sensului pozitiv
luat prin convenție.
Cel de-al doilea caz este rotația față de
axa delta prim
iarăși față de delta prim momentele
forțelor F3, F4 și F5 vor fi 0
motivele fiind evidente au brațul 0
deci momentul F3
egal cu momentul
lui F4
egal cu momentul lui F5
egal cu 0
momentul lui F1
va fi egal cu minus F1
ori L
minus pentru că, din nou în mod evident
F1 va imprima o rotație
în sens opus sensului pozitiv
deci rotația lui F1 va fi
așa, sensul pozitiv este invers
deci semnul este negativ, iar brațul lui F1
este L, deci minus
10
ori 10 la minus 1
care înseamnă că
avem un moment total de
minus 1 N ori m
momentul forței F2
față de delta prim
este egal cu plus F2
mulțit cu L
sinus de alfa
de ce?
pentru că trebuie să
calculăm brațul forței 2
considerăm dreapta suportă lui F2
și apoi calculăm distanța ei
față de delta prim
aceasta va fi
segmentul
B, să notăm punctul acesta cu D
deci brațul forței 2 față de delta prim
este BD
iar BD
este L sinus de alfa
acest unghi este de 90 de grade
deci obținem plus
15 ori 10 la minus 1
ori sinus de 45 de grade
deci în total plus
1.06
N ori m
făcând suma algebrică
a tuturor acestor
momente ale forțelor, obținem că momentul
total față de axa delta prim
este egal cu plus
0.06
N ori m
deci momentul total al tuturor
forțelor față de axa delta prim este pozitiv
deci față de axa delta prim
forțele vor genera
o rotație în sensul pozitiv
există multe aplicații practice
ale momentelor forțelor
sau cuplurilor de forțe
un exemplu foarte simplu este o cheie
care înșurubează o piuliță
ea în mod evident va folosi
un moment al forței aplicată la capătul cheii