Transcript: Proprietăţile mişcării oscilatorii armonice. Pendulul gravitaţional.

În cea de-a doua lecție de oscilații și unde mecanice, vom discuta despre proprietățile mișcării oscilatorii armonice.
Mișcarea oscilatoriei armonică a fost definită în lecția precedentă.
Să începem cu discuția despre defazajul mărimilor ce descriu mișcarea oscilatoriei armonică.
După cum am văzut în lecția trecută, elongația are următoarea formă sinusoidală.
O amplitudine mulțită cu sinus dintr-un argument, care este egal cu pulsația mulțită cu timpul și adunată cu o fază inițială.
Dacă facem diagrama fazorială a acestei oscilații armonice, în care fiecărei mărimi îi atașăm un vector rotitor
cu magnitudinea egală cu amplitudinea funcției sinusoidale și unghiul față de axa x egală cu argumentul funcției,
obținem pentru elongație următoarea reprezentare.
Deci aceasta este diagrama fazorială.
Dacă doriți să revedeți noțiunile de bază despre diagrama fazorială,
vă invit să revedeți lecțiile de curent alternativ în care am definit și discutat diagrama fazorială.
Dar pe scurt, fiecărei mărimi sinusoidale, precum această elongație, se atașează un vector care se rotește în planul OXY,
în planul ecranului, care are magnitudinea constantă egală cu amplitudinea oscilației și vectorul care este egal cu argumentul omega t
dacă există o fază inițială nenulă și plus această fază fi zero.
Deci acesta este fazorul pentru elongație.
Dacă luăm în considerare ecuația pentru viteză, pe care am găsit-o în lecția trecută,
și anume viteza ca funcție de timp este omega cosinus de aceeași fază totală,
putem să o rescriem în forma următoare omega sinus de argumentul omega t plus fi zero plus pi pe 2,
unde am folosit relația trigonometrică cosinus de alfa este egal cu sinus de alfa plus pi pe 2.
În felul acesta putem să reprezentăm fazorul pentru viteză în aceeași diagramă fazorială și obținem următorul fazor.
Deci un fazor ce se rotește în cercul verde întrerupt cu magnitudinea omega a și unghiul omega t plus fi zero,
deci același argument ca și elongația, dar defazat în față cu pi pe 2 radiani sau 90 de grade.
Făcând același lucru cu accelerația mișcării oscilatore armonice, putem scrie ecuația ei,
care a fost găsită în lecția trecută, deci accelerația este minus omega pătrat a sinus de omega t plus fi zero,
Pentru a găsi o formă similară, adică o magnitudă înmulțită cu un sinus de un anumit argument,
trebuie să absorbim cumva acest semn minus în funcția sinus și folosim o altă identitate trigonometrică
care spune că minus sinus de alfa este egal cu sinus de alfa plus pi radiani.
Și aceasta este ecuația care obținem, ceea ce ne permite să reprezentăm fazorul accelerației în aceeași diagramă fazorială,
deci cu roșu vedeți fazorul accelerației care se rotește în cercul de culoare roșie și cu linie întreruptă
și care se află defazat în față, față de elongație cu pi radiani sau 180 de grade.
Deci acești trei vectori se rotesc împreună în acest plan OXY cu viteza omega t plus eventual phi zero,
dacă este diferit de zero, iar viteza este defazată în față, față de elongație cu 90 de grade, accelerația cu 180 de grade.
Dacă reprezentăm grafic aceste trei funcții, obținem această reprezentare grafică.
Deci ca funcție de timp avem cu albastru elongația care are o magnitudine a, cu verde viteza care are o magnitudine omega a
și cu roșu accelerația care are o magnitudine omega pătrat a.
Și putem vedea și din această reprezentare grafică defazajele dintre aceste trei mărini,
adică pur și simplu luăm punctul de maxim al uneia dintre ele și punctul de maxim a celelalte.
Spre exemplu, primul maxim al elongației este aici, la această valoare temporală,
iar primul maxim al vitezei este în acest punct și putem vedea că diferența dintre ele este de pipe 2.
Defazajele unghiulare sunt echivalente cu defazajele temporale,
pentru că avem relația generală delta T împărțit la T este egal cu delta fi împărțit la 2pi.
Pentru că la un unghi delta fi, care îi corespunde un unghi delta T,
putem face asociația cu unghiul total al cercului, care este 2pi,
care îi corespunde un timp egal cu perioada de rotație T.
Deci aceasta este o regulă de trei simple.
Și aplicând această regulă, această ecuație, putem scrie că defazajul viteză-elongație,
care este egal cu 90 de grade,
corespunde unui defazaj temporal între viteză și elongație, egal cu un sfert de perioadă.
La fel, defazajul dintre accelerație și elongație, care este egal cu 180 de grade,
corespunde unui defazaj temporal de jumătate de perioadă,
ceea ce, din nou, se vede din acest grafic.
Defazajele temporale se văd în acest grafic.
O perioadă, spre exemplu, pentru elongație, este o întreagă oscilație pozitivă plus una negativă.
Deci aceasta este o perioadă a lui Ydt, în graficul pe care îl vedeți.
Trecem la conservarea energiei în mișcarea oscilatorie armonică.
Energia mecanică totală a oscilatorului armonic este, bineînțeles, suma energiei cinetice și a energiei potențiale,
dată de deformare elastică.
Asta înseamnă că energia cinetică, care, prin definiție, este mvp2,
poate fi scrisă în forma aceasta, unde pur și simplu am înlocuit formula pentru viteza,
pe care am dat-o în minutele precedente.
Energia potențială este, prin definiție, 1p2ky².
Aceasta este energia potențială a unui resort.
Energia potențială produsă de o forță elastică.
A fost demonstrată în lecțiile de legi de conservare mecanică această formulă.
Înlocuim forța, ecuația pentru elongația Y în această ecuație și obținem forma pentru un oscilator armonic.
Dacă le combinăm, putem obține ecuația pentru energia totală,
în care am ținut cont de faptul că, pentru un oscilator armonic, K este egal cu mvp2.
Deci, K fiind egal cu mvp2, putem vedea că aceste două cantități,
și anume, energia cinetică maximă și energia potențială maximă,
sunt egale între ele, datorită acestei relații.
Și atunci, când adunăm, datorită faptului că cosinus pătrat de un unghi plus sinus pătrat de un unghi este 1,
deci, prin adunare a acestor factori sinusoidali,
dispar și obținem că energia totală este mω2a2.
Dacă reprezentăm grafic aceste energii, energia cinetică, energia potențială și energia totală,
obținem, ca funcție de timp, bineînțeles, obținem această dependență.
În primul rând, energia totală este independentă de timp,
ceea ce vedem cu roșu aici,
iar energiile cinetice și potențiale au aceste dependențe periodice,
dar în contratimp, dacă doriți.
Ceea ce înseamnă că energia cinetică se transformă în energie potențială și invers,
pe măsură ce una crește, cealaltă scade,
și fac aceasta cu aceiași cantitate,
deci, cantitatea cu care crește una, scade cealaltă și invers.
Aceasta este natura oscilatorie a unui oscilator armonic.
Energia cinetică maximă, energia potențială maximă și energia totală sunt egale.
Se vede foarte simplu din acest grafic.
Când energia potențială ajunge la maxim, ea devine egală cu energia totală
și când energia cinetică ajunge la maxim, ea devine egală cu energia totală.
Deci putem scrie că energia cinetică plus energia potențială
sunt egale cu energia cinetică maximă
și sunt egale, de asemenea, cu energia potențială maximă
și sunt egale cu energia totală.
Să trecem la un exemplu practic, un alt exemplu practic,
de oscilator armonic, și anume pendulul gravitacional.
Pendul gravitacional este un corp punctiform de masă M
suspendat de un fir inextensibil, fără masă și cu lungimea L.
Deci să considerăm un perete, un tavan, de care este atârnat un fir
la capătul căruia avem un corp de masă M, firul are lungimea L
și bineînțeles că asupra corpului va acționa forța de greutate g.
Notăm cu alfa unghiul format la un moment dat de fir cu verticala.
Acest unghi va fi format de asemenea între fir și greutate.
O a doua forță care apare în problemă este tensiunea din fir.
Și bineînțeles sub acțiunea forței tangențiale ale greutății.
Deci aceasta este gt.
Sub acțiunea lui gt, firul și corpul, pendulul întregului,
va efectua o mișcare oscilatorie în jurul verticale.
Elongația acestei mișcări oscilatorie este distanța dintre poziția la un moment dat și poziția de echilibru.
Deci acest Y pe arcul descris de corpul cu masă M este elongația.
Haideți să notăm cu X distanța dintre corp la un moment dat și verticală.
Bineînțeles că putem porni și pornim prin scrierea ecuației fundamentale a dinamicii.
Și anume că masa ori accelerația este egală cu suma vectorială a forțelor ce acționează asupra corpului.
În cazul nostru, greutatea și tensiunea.
Pentru a rezolva, după cum am făcut de foarte multe ori în problemele de dinamică, alegem un sistem de coordonate.
În cazul acesta, sistemul cel mai convenabil ar fi unul cu axa Y de-a lungul firului și axa X perpendiculară pe fir.
Deci alegem acest sistem de coordonate OXY și proiectăm această ecuație pe cele două axe.
Pe OX obținem MA este egal cu minus MG sin alfa.
Deci, dacă vreți, MA este egal cu GT.
Accelerația corpului se datorează acestei forțe tangente.
Iar pe OY obținem ecuația pentru tensiunea din fir.
T este egal cu G cos alfa, adică MG cos alfa.
Reținem numai această ecuație și, în cazul unghiulor mici,
la limit al unghiulor mici, putem scrie că X este aproximativ egal cu Y.
Adică că elongația mișcării oscilatoriei, care, din nou, este de-a lungul curbei descrisă de corp,
este aproximativ egală cu distanța dintre corp și vertical.
Bineînțeles, acest lucru este valabil pentru unghiuri mici sub 5 grade.
În acest caz, din această ecuație, obținem următorul lucru.
MA este egal cu MG sin alfa.
Dar sin alfa este egal cu X pe L.
Deci, sin alfa este egal cu X împărțit la L.
Dar, cum am spus, în limita unghiulor mici, X devine aproximativ egal cu Y.
Deci, putem scrie că MA este aproximativ egal cu minus MGY pe L.
În acest caz, deci, forța tangentă care mișcă corpul în această mișcare oscilatorie,
are forma unei forțe elastice.
Nu este o forță elastică, evident, este proiecția greutății,
dar este o constantă, minus o constantă mulțit cu elongație.
În concluzie, obținem o mișcare oscilatorie armonic, în acest caz,
a cărei constante este MG împărțit la L.
În concluzie, putem scrie că omega pătrat este egal cu G pe L.
Am folosit ecuația pentru oscilatorul armonic, K este egal cu M omega pătrat.
Și, deci, omega pătrat, pulsatia la pătrat, pentru această mișcare oscilatorie armonică, este G pe L.
În concluzie, putem scrie perioada acestei mișcări oscilatorie armonice,
T este egal cu 2P împărțit la pulsatie, și, deci, egal cu 2P radical din L,
lungimea firului, lungimea pendulului împărțit la constanta gravitațională.
În concluzie, în limita unghiulor mici, această greutate tangentă la mișcarea oscilatorie
are forma unei forțe elastice,
caz în care mișcarea oscilatorie devine o mișcare oscilatorie armonică,
a care pulsatia este dată de această formulă și perioada de această formulă.