Transcript: Principiul Huygens. Legile reflexiei undelor mecanice.

În cea de-a opta lecție despre oscilații și unde mecanice vom prezenta principiul Huygens
și apoi vom discuta despre reflexia și refracția undelor mecanice.
Principiul Huygens spune că fiecare punct dintr-un front de undă poate fi considerat sursa undelor sferice secundare
care se propagă în toate direcțiile cu viteza de propagare a fazei undelor în mediul considerat.
Haideți să vedem ce înseamnă el concret și mai ales cum poate fi el folosit.
Deci, întâi, aplicabilitatea principiului Huygens se referă la mecanismul de generare a unui nou front de undă
plecând de la un front de undă dat.
Adică, dacă știm care este frontul undei la un moment dat t
și dorim să aflăm cum arată, care este geometria și poziția frontului de undă la un moment ulterior delta t,
t plus delta t,
principiul Huygens ne spune că trebuie să construim înfășurătoarea, adică suprafața tangentă,
a undelor secundare cu sursa pe frontul de undă dat, adică cel de la momentul t.
Haideți să vedem concret cum se folosește principiul Huygens pentru construirea noilor poziții și geometrii ale fronturilor de undă.
Deci, să considerăm o undă sferică, deci avem o sursă, punctul roșu în centru,
de unde pleacă o undă sferică care se propagă spre exterior,
generând fronturi de undă concentrice, suprafețe de undă, și deci frontul de undă va fi și el sferic.
Și dorim să aflăm care este forma și poziția noului front de undă la un moment t plus delta t,
dacă forma și poziția frontului de undă la momentul t este acest cerc.
Deci cunoaștem acest cerc sau sferă în trei dimensiuni și dorim să aflăm cum anume se formează frontul de undă ulterior.
Deci principiul Huygens spune că pe acest front de undă, în fiecare punct a lui,
considerăm o sursă de unde sferice secundare care se propagă în toate direcțiile cu aceeași viteză de propagare.
Adică avem astfel de situație.
Deci pe fiecare punct de pe frontul de undă de la momentul t devine o sursă, deci un punct roșu în sine.
Și din acest punct roșu pleacă o undă sferică.
Bineînțeles, în toate direcțiile.
Din nou, toate punctele de pe frontul de undă devin surse.
Deci dacă considerăm un alt punct, spre exemplu acesta, și el va genera o undă sferică ce se propagă în toate direcțiile.
Pentru a găsi noul front de undă, construim înfășurătoarea, adică suprafața tangentă la toate aceste mici sfere.
Și ea va fi noul front de undă.
Deci sfera, sau în două dimensiuni, cum vedeți dumneavoastră pe ecran, cercul, cu culoare albastră deschisă, este înfășurătoarea.
Suprafața tangentă la toate aceste noi fronturi de undă secundare.
Ea va fi frontul de undă al undei noastre, la un moment ulterior t plus delta t.
Deci acesta este felul practic prin care principiul Huygens poate fi folosit pentru a genera un nou front de undă.
În cazul undei sferice.
Haideți să considerăm celălalt caz important pe care l-am discutat, cel al unei unde plane.
Deci o undă plană este o formă a unei unde tot sferice, dar la o distanță foarte mare de sursă.
După cum am discutat în lecțiile trecute.
Deci aceasta este sursa și acestea sunt suprafețele de undă la îndepărtați sau la timp mari de propagare.
Și știind forma frontului de undă la un moment dat.
Deci această ultimă linie care este suprafața de undă de timp cel mai recent în propagarea undei.
Dorim să aflăm cum arată sau să generăm cumva suprafața frontului de undă la un moment ulterior t plus delta t.
Folosim principiul Huygens.
Deci pe acest front de undă luăm toate punctele, le considerăm surse ale unor unde sferice secundare.
După cum vedem.
Deci toate punctele frontului de undă devin surse ale unor unde sferice secundare.
Și apoi construim înfășurătoarea acestor unde sferice secundare desenate cu linie întreruptă.
Și ea va fi noul front de undă.
Înfășurătoarea, deci suprafața tăiată la toate aceste mici cercuri.
Este tot o linie dreaptă în două dimensiuni sau în trei dimensiuni un plan.
Și el va fi noul front de undă al undei noastre originale.
Deci acesta este felul în care principiul Huygens este folosit în practică pentru a genera geometria frontului de undă al unei unde oarecare.
Să trecem la reflexia undelor mecanice.
Despre reflexia undelor am discutat în lecțiile de optică geometrică.
Și le-ați făcut și dumneavoastră în clasa noua.
Folosind noile cunoștințe despre proprietățile undelor.
Precum faptul că ele sunt, de fapt, unde plane.
Nu sunt raze de lumină cum discutam în optica geometrică.
Deci am făcut câțiva pași înainte în descrierea caracteristicilor undelor.
Și folosind de asemenea principiul Huygens, de data aceasta vom putea demonstra legile reflexiei și refracției.
Pornind cu reflexia.
Deci ce știm este că, de fapt, o rază este o undă.
Și dacă frontul de undă este suficient de departe de sursă.
Deci ne aflăm în cazul în care sursa este undeva departe.
Atunci putem considera suprafețele de undă plane.
Deci ne aflăm în cazul undelor plane.
Și avem o undă incidentă.
A cărei front de undă este segmentul AB.
Care se propagă către suprafața de separare între două medii.
Deci avem un mediu pe care îl notăm cu mediul 1 și mediul 2.
Iar această linie albă groasă este suprafața netedă de separare între cele două medii.
Și deci unda noastră se propagă, unda noastră plană, se propagă către această suprafață de separare.
După cum am discutat când am descris folosirea principiului Huygens,
felul în care generăm noile unde este întotdeauna același.
Considerăm fiecare punct de pe frontul de undă de la un moment dat ca o sursă de unde secundare.
Și construim tangenta la aceste unde secundare sau înfășurătoarea.
Și această înfășurătoare va fi noul front de undă care se va mișca și el în aceeași direcție cu aceeași viteză.
Procedând în felul acesta, unda se propagă din aproape în aproape până ajunge în contact cu suprafața de separare.
Deci ajunge în poziția A1B1.
În acel moment exact același lucru se întâmplă.
Fiecare punct de pe frontul de undă nou, adică A1B1, devine o sursă de unde secundare.
Și deci din fiecare punct construim la fel aceleași mici unde secundare.
Diferența este că în punctul B1, unda se deplasează în aceeași direcție cu viteza V1.
Deci notăm cu V1 viteza de deplasare a undei în mediul 1.
În punctul A1, unda reflectată se va deplasa, undea secundară se va deplasa în noua direcție.
La fel se întâmplă cu toate punctele de pe frontul de undă.
Pe măsură ce ele ajung în contact cu suprafața de separare, se vor deplasa în direcția undei reflectate.
Notând cu I, unghiul de incidență, adică unghiul dintre fasciculul sau unda incidentă și normala la suprafața de separare.
Deci linia întreruptă este dreapta perpendiculară în punctul A1 pe suprafața de separare.
Și cu R1, unghiul de reflexie, adică unghiul dintre unda reflectată și aceeași normală,
putem să calculăm relația dintre I și R1 folosind proprietățile undelor incidente și reflectată deduse din principiul Huygens.
În felul următor, să notăm cu T timpul în care unda plană incidentă parcurge B1-B1'.
Deci notăm cu T timpul necesar aceste unde secundare să parcurgă distanța dintre B1-B1'.
Raza secundară emisă din A1 în acest timp este egală cu V1T.
Deci dacă notăm cu R raza unde e secundare în timpul în care unda secundară din B1 a ajuns în B1',
ea va fi egală cu V1T pentru că unda reflectată are aceeași viteză de propagare ca și unda incidentă.
Deci aceste două unde, unda din B1 și unda din A1,
cea din B1 fiind încă parte a undei incidente și cea din A1 fiind parte din unda reflectată,
au aceeași viteză de deplasare.
În concluzie, B1-B1' va fi egal cu A1-A1' și egale cu V1T.
Din nou, pentru că cele două unde se deplasează cu aceeași viteză fiind în același mediu.
Datorită acestui fapt, putem scrie că triunghiurile A1-A1'-B1' și A1-B1' sunt congruente
deoarece au două laturi egale și două unghiuri egale.
Laturile egale sunt următoarele.
A1-B1' ca latură comună este latură atât în A1-A1'-B1' cât și în A1-B1'
Alte două laturi care sunt egale sunt acestea două despre care am vorbit,
deci A1-A1' este egal cu B1-B1'
și de asemeni unghiurile egale sunt unghiurile drepte.
Deci aceste două unghiuri sunt amândouă de 90 de grade
pentru că frontul de undă, fiind o undă plană, este perpendicular pe viteza de propagare a undei.
Aceasta e o definiție de bază a undei plană.
Deci această linie este perpendiculară pe viteza undei, pe direcția de plasare a undei, incidente,
iar acest front de undă A1'-B1' este și el perpendicular pe viteza de propagare a undei reflectate,
pe direcția undei reflectate.
Deci cele două unghiuri sunt de 90 de grade.
În concluzie, cele două triunghiuri sunt congruente
iar principala consecință este că unghiurile B1-A1'-B1' și A1'-B1'-A1 sunt egale.
Deci acest unghi este egal cu acest unghi.
Dar acest unghi este unghiul I, iar acest unghi este unghiul R1.
Deoarece axele lor sunt perpendiculare.
Dacă ne uităm la dreptele ce delimitează unghiul B1-A1'-B1'
observăm că primul este perpendicular pe această axă.
Deci A1'-B1' este perpendicular pe A1' și de asemenea A1'-B1' este perpendicular pe normală.
În concluzie, acest unghi este egal cu acest unghi și ele sunt, prin definiție, unghiul de incidență.
Din exact aceleași motive, acest unghi este egal cu acest unghi și deci egal cu R1.
A1'-B1' este perpendicular pe direcția undei reflectate și A1'-B1' este perpendicular pe normală.
În consecință, putem deduce prima lege a reflexiei undelor, scuzați, ceea de-a doua lege a reflexiei undelor,
care spune că unghiul incident este egal cu unghiul reflectat.
Deci I este egal cu R1.
Prima lege a reflexiei undelor spune că unda incidentă și unda reflectată sunt coplanare cu normala.
Altfel spus, toate sau ambele unde incidentă și reflectată sunt normale și coplanare pe suprafața de separare.
Alte proprietăți importante ale reflexiei undelor sunt următoarele.
Reflexia nu modifică pulsația.
Deci pulsația undei incidente este egală cu pulsația undei reflectate.
De aici rezultă că și perioada și frecvența celor două unde vor fi egale,
pentru că perioada și frecvența sunt direct legate de pulsație și deci ele vor fi egale.
La fel, lungimea de undă a celor două unde este egală.
Lambda incident este egal cu lambda reflectat.
O altă proprietate importantă care se observă experimental este următoarea.
Reflexia unei unde mecanice la suprafața de separare dintre un mediu elastic și un mediu mai rigid
are loc cu pierdere de semiundă și cu schimbare de fază cu pi radiani.
Ce înseamnă asta și cum poate fi văzută experimental această proprietate?
Foarte simplu, spre exemplu, cu următorul experiment.
Să considerăm o coardă elastică în care se propagă o undă.
Pur și simplu, cu mâna producem o undă prin coarda elastică și această coardă este atașată de un perete,
adică atașată printr-un inel ce se poate mișca fără frecare sau cu frecări minime.
Unda se propagă către perete și la un moment dat ajunge aproape de perete
și atunci, datorită faptului că inelul este mobil, ea va forma o undă ce ridică inelul în sus
care apoi se reflectă înapoi, inelul coborând și unda reflectându-se înapoi în direcția opusă.
Variația fazei în procesul de reflexie, care prin definiție este fi reflectat minus fi incident, în acest proces este zero.
Deci, în acest caz, în care unde îi se permite să se propage inclusiv la contactul cu peretele,
nu are loc o variație de fază și, în concluzie, nu are loc o variație de lungime de undă în procesul de reflexie.
Vă reamintesc, delta fi este egal cu k delta r.
Deci, delta fi este egal cu 2pi pe lambda delta r.
Deci, dacă delta fi este zero și delta r este zero.
Să considerăm acum alt caz.
Considerăm aceeași coardă, cu o undă propagându-se prin ea, către un perete,
dar, de data aceasta, în loc să avem un inel mobil, avem o legătură fixă.
Deci, legăm coarda de perete și de aceea nu se mai poate mișca.
Ce se întâmplă este că, în momentul în care unda ajunge la punctul fix,
ea se oprește, ceea ce înseamnă că energia cinetică a undei se transformă într-o energie potențială de tensiune în această legătură
și apoi această energie potențială din legătură se transformă din nou în energie cinetică și unda va fi reflectată înapoi,
dar acest lucru are loc în sens opus.
Deci, unda reflectată va avea o viteză opusă, bineînțeles, dar are loc o pierdere de fază egală cu pi.
Deci, fii reflectat, faza unde e reflectate minus faza unde e incidente este egală cu 180 de grade,
după cum se vede din acest desen care reprezintă ceea ce observăm experimental.
O pierdere de fază sau schimbare de fază cu pi radiani implică o pierdere de semiundă, datorită acestei relații.
Deci, dacă înlocuim delta r cu pi în această relație, observăm că delta r este egal cu lambda p2.
Deci, în cazul în care reflectia are loc între două medii, în care mediul 2 este mai rigid decât mediul 1, din care vine unda incidentă,
avem acest fenomen de pierdere de semiundă și schimbare de fază cu pi radiani sau 180 de grade la reflexii.