Transcript: Mişcarea oscilatorie. Mişcarea oscilatorie armonică. Pendulul elastic.

În prima lecție despre oscilații și unde mecanice vom discuta despre mișcarea oscilatoriei în general
și apoi despre mișcarea oscilatoriei armonic.
Oscilația este mișcarea ce se repetă periodic, sistemul revenind în poziție inițială după fiecare perioadă.
Exemple de oscilații, de sisteme care descriu mișcarea oscilatoriei sunt pendulul, vibrația unei corzi,
electronii într-un curent alternativ, atomii în rețeaua unui cristal și așa mai departe.
Pentru a vizualiza o mișcare oscilatorie am introdus această imagine cu un copil care se dă într-un leagăn.
Observăm că aceasta este o oscilație pentru că se repetă periodic, după un anumit timp copilul revine în aceeași poziție inițială
iar timpul după care revine în această poziție inițială se numește perioada oscilației.
Mărimile caracteristice oscilației sunt următoare.
În primul rând, după cum am spus, este perioada.
Perioada, care se notează cu T și, bineînțeles, fiind un interval temporal semăsoară în secunde,
este timpul după care oscilatorul revine în același punct, mișcându-se în același sens.
Este importantă această observație, mișcându-se în același sens,
pentru că, în timpul unei perioade, corpul sau oscilatorul trece printr-un punct de două ori.
Spre exemplu, acest copil va trece prin poziția de la baza leagănului de două ori,
odată când se duce și apoi când se întoarce.
Vorbim despre trecerea unei perioade semnificând intervalul de timp
în care el trece prin același punct, dar mișcându-se în același sens.
Deci, dacă considerăm punctul de la baza leagănului,
o perioadă va fi perioada în care băiatul se duce, trece prin punctul de la baza,
ajunge la maxim, se întoarce, ajunge din nou la punctul de la baza,
dar asta nu este încă o perioadă, pentru că se mișcă în sens invers
față de momentul când a trecut prima dată, urcă și apoi coboară încă o dată.
Atunci avem o perioadă.
Deci, revenirea în același punct, mișcarea efectuându-se în același sens definește o perioadă.
Elongația Y este distanța oscilatorului față de poziția de echilibru.
În cazul băiețelului, poziția de echilibru este punctul de la bază.
În acea poziție, el rămâne pe loc fără a mai oscila.
Deci, aceasta este poziția de echilibru a oscilației leagănului.
Iar elongația Y va fi distanța dintre această poziție de echilibru de la bază
și poziția de la un moment dat t.
Amplitudinea oscilației este elongația maximă.
Adică, în cazul acestui desen, acestei imagini,
distanța dintre punctul de la bază a leagănului și punctul maxim de ridicare a copilului în leagăn.
Aceasta se numește amplitudinea oscilației.
Frecvența oscilației se notează cu nu și este numărul de oscilații în unitatea de timp.
Deci, definiția, în general, a lui nu este numărul de oscilații pe timpul trecut,
dar, prin definiția perioadei, timpul este numărul de oscilații înmulțit cu timpul unei oscilații.
Și, în concluzie, frecvența este inversul perioadei.
Ea se măsoară în herți.
Deci, unitatea de măsură pentru frecvență este 1 Hz.
De asemenea, bineînțeles, definim o viteză momentană de oscilație,
care este viteza de variație a elongației Y
și o accelerație momentană de oscilație, care este viteza de variație a vitezei de oscilație.
Să discutăm acum despre mișcarea oscilatorii armonică,
dar o vom defini nu imediat, ci după ce o vom introduce.
Să spunem întâi că majoritatea mișcărilor oscilatorii nedisipative,
adică în care nu există sau neglijăm forțele de frecare,
pot fi modelate matematic prin proiecția pe o axă a mișcării circulare uniforme.
Deci, cum vom proceda?
Vom considera o mișcare circulare uniformă pe care o vom proiecta pe o axă
și vom obține astfel o mișcare oscilatorie.
Spunem că majoritatea mișcărilor oscilatorii sunt descrise în felul acesta,
dar după aceea vom demonstra că prin acest cuvânt majoritatea
înțelegem de fapt mișcările oscilatorii armonice.
Majoritatea mișcărilor oscilatorii nedisipative sunt armonice
și în felul acesta vom introduce mișcarea oscilatoriei armonice.
Deci, să procedăm.
Pornim de la o mișcare circulare uniformă pe care o vedeți în această schiță.
Deci, ce vedeți este un mobil notat cu M
care descrie o mișcare circulare uniformă pe acest cerc
în planul descris de axele de coordonate OX și OY.
Deci, mișcare circulare uniformă înseamnă că modulul vitezei mobilului este constant.
Vectorul VM, vitezei, modulul lui, este o constantă.
Dacă notăm cu M0 poziția inițială a modului mișcarea sa aflată la unghiul FI0 față de axa X
și cu M poziția mobilului la momentul T,
atunci poziția lui va fi descrisă de unghiul FI la momentul T.
Acest unghi FI la momentul T este egal cu viteza unghiulară omega înmulțită cu timpul plus FI0.
Viteza unghiulară omega se mai numește și pulsație.
Această ecuație apare direct din definiția vitezei unghiulare.
Viteza unghiulară este, prin definiție, variația unghiului în unitatea de timp.
Dar delta FI este FI minus FI0,
iar delta T este T, pentru că considerăm T0 egal cu 0.
De aici obținem că FI este omega T plus FI0.
Aceasta este ecuația pentru unghiul FI,
ce descrie poziția la momentul T oarecare a mobilului în mișcarea sa circulară uniform.
Parametrii ce descriu această mișcare sunt poziția,
deci vectorul R,
viteza, Vm,
și accelerația, Am, centripetă.
Vă rog să recapitulați lecția de cinematică
în care am descris mișcarea circulară uniformă,
unde veți vedea ecuațiile pentru viteza și accelerația centripetă în acest tip de mișcare.
Acum să facem pasul următor și anume să proiectăm această mișcare
circulară uniformă, adică parametrii ei, pe o axă.
Putem să alegem atât axa OY cât și axa OX.
Obținem același lucru.
O proiectăm pe OY.
Deci, întâi vom proiecta R ca funcție de T
și vom obține Y de T,
apoi vom proiecta viteza, Vm, și vom obține V,
și vom proiecta de asemenea accelerația centripetă, Am,
și vom obține A, vectorul A.
Y, V și A fiind vectorii ce descriu mișcarea pe axa OY,
care va fi o mișcare oscilatorică.
Deci, în primul rând, să proiectăm R.
Deci, Y de T este, prin construcție, proiectia lui R pe axa OY.
Deci, este R sinus de phi de T.
Phi de T are această ecuație.
Deci, Y de T este R sinus de omega T plus phi zero.
Observăm că amplitudinea acestei mișcări pe axa Y
este egală cu raza R.
Deci, prin definiție, amplitudinea este elongația maximă
și vedem că elongația maximă a mișcării pe axa OY este raza.
Deci, în valoare maximă, Y de T devine R.
Deci, amplitudinea mișcării pe Y de T este R,
pe care o înlocuim în ecuația de sus
și obținem că Y de T are următoarea formă,
a, amplitudinea, sinus de omega T plus phi zero.
Să proiectăm viteza.
Deci, viteza V deserată cu roșu aici
va fi Vm cosinus de phi T.
Pentru că vedem că acest unghi phi de T este egal cu acest unghi
iar deoarece Vm este perpendiculară pe rază
și V este perpendiculară pe această linii punctată,
obținem că acest unghi este de asemeni phi de T.
Și deci obținem că cosinus de phi este cateta alăturată
împărțită la ipotenuză.
Deci, V va fi Vm cosinus de phi de T.
În concluzie, de asemeni,
Vm pentru mișcarea circulară uniformă, viteza, știm că este omega R.
În cazul nostru va fi de asemenea egal cu omega A.
Și deci înlocuind valorile vitezei într-o mișcare
circulară uniformă și a unghiului phi de T în această ecuație,
obținem ecuația pentru viteza pe axa Y.
Deci, V de T va fi omega A cosinus de omega T plus phi zero.
Și în fine, proiectăm de asemeni și accelerația centripetă Am
pentru a obține A, accelerația pe axa Y.
Deci, A de T este egal cu minus Am sinus de phi de T.
Să luăm întâi unghiul. De ce sinus de phi de T?
Pentru că acest unghi este egal cu acest unghi.
Deci, avem o axă, o dreaptă comună pentru cele două unghiuri,
iar celelalte două drepte sunt paralele, fiind amândouă
perpendiculare pe Y. Deci, acest unghi este phi de T.
Și deci, A este Am sinus de phi de T.
Este luat cu semnul minus pentru că această accelerație
se opune sensului lui Y de T. Deci, Y crește pe axa OY
iar accelerația are sensul opus axei OY. Deci, avem un semn minus
datorită orientării lui A față de axa OY pe care îl proiectăm.
De asemeni, din ecuațiile mișcării circulare uniforme, știm că
accelerația centripetă este omega pătrat R sau, în cazul nostru,
omega pătrat A, amplitudinea fiind egală.
Facem înlocuirea și obținem ecuația pentru accelerația pe axel OY
care va fi minus omega pătrat A sinus de omega T phi zero.
Deci, în felul acesta am putut modela o mișcare oscilatorie
cea pe axel OY pentru că vedem că, pe măsură ce mobilul nostru
descrie o mișcare circulară uniformă, proiecția lui pe axel OY
va descrie o mișcare oscilatorie periodică în jurul centrului O al mișcării.
Haideți să vedem totuși de ce această mișcare oscilatorie se numește armoc.
Să luăm în considerare ecuațiile pe care le-am dedus pentru această mișcare oscilatorie
pentru elongația Y de T și accelerația A de T.
Deci, am dedus aceste două ecuații.
Luându-le împreună, observăm că putem scrie următoarele ecuații.
A, accelerația, este minus omega pătrat, pulsatia la pătrat, înmulțit cu elongația.
Dacă înmulțim această ecuație cu masa oscilatorului,
obținem forța. Masa ori accelerație este forța.
Deci, rezultă că forța ce acționează asupra oscilatorului în oscilația descrisă prin aceste ecuații
va fi egală cu o constantă, care este egală cu masa ori pulsatia la pătrat.
O constantă pentru că nu depinde de timp.
Deci, o constantă înmulțită cu elongație.
Observăm că acest tip de forță este o forță de tip elastic.
În care forța este proporțională cu elongația, dar are semn contrar.
Prin definiție, numim mișcarea oscilatoriei armonică
mișcarea oscilatoriei sub acțiunea unei forțe de tip elastic.
Deci, nu neapărat elastic, dar de tip elastic în sensul că are această formă.
Minus o constantă înmulțită cu elongație.
Forța, deci, este proporțională cu elongație.
În acest caz, mișcarea oscilatoriei se numește armonică
și are ecuațiile deduse în minutele precedente.
Dacă ne uităm la definiția constantei K,
putem observa că pulsatia este egală cu radical din K pe M,
dar, după cum știm, pulsatia este de asemenea egală cu 2π împărțită la perioada.
Deci rezultă că perioada unei mișcări oscilatoriei armonice
are ecuația 2π împărțită cu radical din M pe K.
Un exemplu foarte cunoscut și simplu de mișcarea oscilatoriei armonică
este cel al unui pendul elastic.
Deci, un pendul elastic este pur și simplu un resort.
Deci avem un resort de care atârnăm o masă cu o anumită greutate g
și asupra căruia, bineînțeles, acționează o forță elastică
care, la echilibru, are valoarea F0.
Elongația sau alungirea resortului în poziția de echilibru o notăm cu Y0.
Dacă dăm un mic impuls acestui corp,
atunci el va începe să oscileze,
se va întinde și se va contracta alternativ
sub acțiunea unei forțe F.
Și vom nota cu Y
elongația oscilatorului în această mișcare de oscilație
în jurul poziției de echilibru.
Deci, la echilibru putem scrie
că, bineînțeles, F0 este egal cu greutatea g,
ceea ce implică că KY0 este egal cu MG.
În timpul oscilațiilor, deci la oscilație sau în oscilație,
avem că F, forța totală,
care este egală cu suma dintre forța elastică și greutate,
suma vectorială, bineînțeles,
este egală cu masă sau reaccelerație.
Acesta este principiul de bază al dinamicii.
Pe care îl putem scrie, această ecuație,
o putem scrie ca minus K
mulțit cu Y0 plus Y,
deci elongația totală, la un moment dat,
a resortului, plus MG
este egal cu MA.
Dar KY0 este egal cu MG, deci se simplifică,
și obținem că minus KY este egal cu MA,
ceea ce înseamnă că A, accelerația,
este egal cu minus K supra MY.
Acest lucru, această ecuație, ne spune că
oscilația unui pendul elastic,
adică oscilația unui resort vertical,
este o oscilație armonică.
A este minus o constantă,
mulțit cu Y, elongația.