Transcript: Legea compunerii vitezelor.

În cea de-a cincia lecție despre teoria relativității restrânse, vom continua discuția din lecția trecută despre cinematica relativistă,
prezentând legea compunerii vitezelor în cadrul teoriei relativității restrânse și apoi discutând câteva exemple simple de aplicații ale cinematicii relativiste.
Compunerea vitezelor pleacă, bineînțeles, de la transformările Lorentz, pe care le reamintesc, ele sunt următoarele.
t' este egal cu gamma îmulțit cu t minus v pe c pătrat îmulțit cu x.
x' este egal cu gamma x minus v or t.
y' și z' rămân nemodificate, deci y' este egal cu y și z' este egal cu z, deoarece viteza v de deplasare a sistemului de referință S' față de sistemul S este de-a lungul axei x, respectiv x'.
Pentru a calcula vitezele, bineînțeles, trebuie să aplicăm definiția vitezei, care este derivata coordonatei în raport cu timpul și să aplicăm apoi aceste formuri.
Deci, în primul rând, să calculăm derivatele sau diferențialele acestor parametrii.
Deci, direct din această ecuație, putem scrie că variația infinitezimală a t' va fi egală cu gamma îmulțit cu variația infinitezimală a t minus v pe c pătrat îmulțit cu variația coordonatei x.
La fel, putem relaționa variațiile lui x', y' și z' și anume dx', dy' și dz' la variațiile x, y, z și t.
Și apoi aplicăm definiția vitezei momentane.
Viteza momentană, spre exemplu u'x, viteza momentană de-a lungul acției x în sistemul de referință S' este definită ca variația coordonatei x' în raport cu timpul t' din sistemul de referință S'.
Deci, aceasta este definiția lui u'x.
Înlocuind ecuațiile de deasupra, obținem că u'x este egal cu gamma dx minus v dt împărțit la gamma dt minus v pe c pătrat dx.
De unde putem deduce următoarea formulă?
U'x este egal cu, în primul rând, gamma S simplifică și este egal cu u'x, deoarece împărțim și sus și jos cu dt.
Deci obținem dx la dt, care este u'x, minus v, iar jos la împărțitor, prin împărțire la dt, obținem 1 minus v pe c pătrat u'x.
Deci, aceasta este relația ce leagă componenta x a vitezei u' în sistemul de referință S' de componenta x a vitezei u în sistemul de referință S.
La fel, putem deduce ecuațiile pentru celelalte două componente.
Deci, u'y este, prin definiție, dy' la dt' și este egal cu dy împărțit la dt' care are această formă.
La fel, obținem și ecuația pentru u'z în care, pur și simplu, vom avea dz.
Facem același artificiu și, anume, împărțim și sus și jos la dt, la variația temporală în sistemul de referință S.
Și obținem următoarele ecuații scrise compactificat pentru amândouă componente.
Deci, u'y sau z este egal cu uy sau z în funcție de ce component am ales aici.
Folosim aceeași componentă în partea dreaptă.
Împărțit la γ-1-vpc'ux.
Acestea sunt legile de compunere a vitezelor pe coordonatele y și z.
Câteva comentarii în legătură cu această lege a compunerii vitezelor în teoria relativității răstrânzi.
În primul rând, conform principiului corespondenței, la limita vitezelor mult mai mici decât viteza luminii în vid,
trebuie să recuperăm legea compunerii vitezelor în transformările Galilei din mecanica clasică.
Și, într-adevăr, acest lucru se întâmplă.
Mai exact, pentru v mult mai mic decât c, acest factor, v împărțit la c-pătrat, poate fi aproximat cu 0.
Deci, dacă v mult mai mic decât c, atunci v va fi cu atât mai mult mai mic decât c-pătrat.
Și, deci, acesta va fi un factor foarte mic.
De asemenea, putem scrie că γ este aproximativ egal cu 1.
Vă aduc aminte definiția lui γ.
γ era notația pentru 1 împărțit la 1-vpc'u.
Dacă v este mult mai mic decât c, atunci acest factor, v împărțit la c-pătrat, este neglijabil.
Și, deci, γ devine aproximativ egal cu 1.
Și, făcând aceste substituții în cele două formule, vedem că ele se reduc la următoarele formule.
u'x va fi aproximativ egal cu ux-v,
iar u'y-z va fi aproximativ egale cu uy-z.
Acestea sunt legile compunerii vitezelor în mecanica clasică datorată transformărilor Galilei.
Deci, într-adevăr, recuperăm ecuațiile din mecanica clasică în această limită.
De asemenea, foarte interesant este că la o altă limită,
și anume la limita în care corpul se mișcă într-unul din sisteme,
spre exemplu în sistemul S cu viteza luminii,
deci ux="c", înseamnă că sistemul nostru fizic sau corpul
se mișcă în sistemul de referință inerțial S de-a lungul axii x cu viteza luminii.
După cum vom demonstra imediat, aplicând această primă ecuație,
obținem atunci că și în cel de-al doilea sistem de referință inerțial,
și anume S', sistemul fizic sau corpul nostru
se mișcă tot cu viteza luminii de-a lungul axii x.
Deci viteza luminii este c,
indiferent de sistemul de referință și viteza sa de plasare v.
Aceasta era de așteptat, deoarece transformările Lorentz
sunt deduse din principiile lui Einstein
și ar trebui să nu ne surprindă că obținem principiul lui Einstein
direct din consecințele transformărilor Lorentz,
dar e interesant de văzut că, într-adevăr, așa se întâmplă.
Pentru a vedea acest lucru, putem aplica direct,
impune această condiție în prima ecuație și obținem, într-adevăr, că
ux' va fi egal cu c-v
împărțit la 1-v
împărțit la c-c.
Deci obținem c-v împărțit la
1-v pe c,
care este c-v împărțit la
c-v împărțit la c, deci egal cu c.
Deci, cel de-al doilea principiu al relativității restrânse
este, într-adevăr, conținut în aceste legi.
Haideți să dăm două exemple de calcul cinematic
în teoria relativității restrânse.
Să considerăm următoarea problemă simplu.
Avem o navă cosmică ce zboară cu o viteză mare și anume 0,9 c față de pământ.
Din această navă lansăm, la un moment dat, în aceiași direcție și în același sens,
o rachetă de cercetare cu viteza relativă 0,6 c față de navă
și se cere să se afle care este viteza rachetei față de pământ.
Deci avem pământul, notăm cu p, o navă,
o notăm cu n, care se deplasează cu viteza v egală cu 0,9 c
și din această navă se lansează o mică rachetă
care are viteza 0,6 c.
În primul rând vom nota această viteză a rachetei față de navă cu u'
pentru că în notația de până acum S' a fost sistemul de referință în deplasare.
Deci S' în cazul nostru este sistemul de referință atașat navei cosmice
pentru că ea se deplasează cu viteza v,
iar S va fi sistemul de referință atașat pământului care este considerat în repaus.
Și deci S' se deplasează cu viteza v față de S.
Aceasta pentru a respecta notațiile sistemelor de referință folosite până acum
și pentru a putea scrie direct relațiile.
Deci relația pe care am dedus-o în minutele precedente a fost că
ux' este egal cu ux-v împărțit la 1-v pe c-ux.
Noi știm u' și v și dorim să aflăm ux,
deci avem nevoie de transformările inverse.
Și după cum am văzut, ecuațiile Lorentz de transformare din S în S' și invers
pot fi obținute înlocuind v cu minus v.
Deci rezultă că ecuațiile inverse de compunere a vitezelor
vor fi următoarele și în particular cele pentru componenta x.
ux va fi egal cu ux' plus v împărțit la 1 plus v împărțit la c-ux'.
Deci din nou, pentru a relaționa invers ux la ux' înlocuim v cu minus v
și obținem această ecuație.
Și la acest moment putem înlocui direct valorele.
Deci ux va fi egal cu ux' care este u'
deci 0.6c plus viteza v a navei cosmice care este 0.9c împărțit la 1
plus 0.6c îmulțit cu 0.9c împărțit la c-ux.
Simplificăm c² cu c², obținem 1.5c împărțit la 1 plus 0.54.
Făcând calculul obținem că această viteză este 0.97tc.
Am păstat numai primele două decimale de după virgul.
Deci, putem observa imediat că ux este mai mic decât c.
Și în felul acesta se respectă prima consecință a principiului 2 al relativității restrânse
și anume ce este viteza maximă a oricărei interacții sau oricărei sistemi fizic din univers.
E important de remarcat că dacă am fi aplicat principiul relativitatea galileiană,
adică transformarea Galilei, am fi obținut că ux trebuie să fie egal cu u'x plus v,
adică 0.6c plus 0.9c, adică 1.5c, care este mai mare decât c.
Deci, într-adevăr, în transformările Galilei, al doilea principiu al relativității nu este respectat.
Obținem, și bineînțeles putem obține, în acel caz viteze mai mari decât viteza luminii,
ceea ce ar infirma rezultatele experimentului Michelson.
Deci, acestea sunt ecuațiile corecte în cazul vitezelor foarte mari, apropiate de viteza luminivii.
Al doilea exemplu este următorul. O mică problemă, dacă vreți.
O particulă instabilă numită mion are timpul de viață în repaus, delta T0, egal cu 2.2 microsecunde.
Vă aduc aminte că un micro este 10 la minus 6, în cazul acesta secund.
Care este timpul de viață în mișcare cu viteza 1.8 multit cu 10 la 8 a metrii pe secundă?
Și, de asemenea, ce distanță va parcurge această particulă numită mion înainte de a se dezintegra?
Pentru că este o particulă ce se dezintegrează, de aceea are un timp de viață relativ scurt.
Pentru a face acest calcul, în primul rând să observăm că această viteză de 1.8 ori 10 la 8 a metrii pe secundă
este egală cu 0.6C, C fiind 3 ori 10 la 8 a metrii pe secundă.
Putem, deci, calcula factorul gamma, care, din nou, este egal cu 1 pe radical din 1 minus v pătrat pe c pătrat.
Deci obținem 1 împărțit la radical din 1 minus 0.6 la pătrat.
C pătrat se simplifică cu C pătrat.
Deci obținem 1 împărțit la radical din 0.64
și, deci, obținem un factor gamma de 1.25 în acest caz.
De aici putem calcula imediat timpul de viață.
Delta T într-un sistem de referință, în cazul nostru, în sistemul de referință a laboratorului,
al observatorului uman care face măsurătoarea, este egal cu gamma îmulțit cu delta T zero.
Rezultă, deci, că delta T este egal cu 1.25 factorul gamma îmulțit cu delta T zero,
2.2 microsecunde, adică 2.75 microsecunde.
Pentru a calcula distanța parcursă înainte de dezintegrare,
distanța D este egală cu viteza îmulțită cu delta T.
Deci va fi egal cu 1.8 ori 10 la opta metrii pe secundă, valoarea lui V,
multită cu delta T, 2.75 microsecunde, înseamnă 10 la minus 6 secunde.
Făcând calculul, obținem 495 de metri.
Deci asta înseamnă că muonul care are această viteză se va dezintegra în această distanță.
E important de menționat că, conform legilor mecanicii clasice,
el s-ar dezintegra în distanța egală cu V multit cu delta T zero.
Aceasta deoarece distanțele sunt absolute.
Nu depinde de sistemul de referință în care ne aflăm o anumită distanță măsurată.
În consecință, distanța după care s-ar dezintegra ar fi V multit cu delta T zero,
adică 1.8 ori 10 la opta metrii pe secundă, multit cu delta T zero,
care este 2.2 ori 10 la minus 6 secunde, pe care calculându-l obținem valoarea 396 de metri.
Deci obținem două predicții foarte diferite din teoria relativității restrânse și din mecanica clasică
pentru distanța parcursă de un mion în medie până când se dezintegrează.
După cum am menționat, această distanță este măsurabilă în laborator,
în acceleratoare de particule puternice,
și, într-adevăr, valoarea care se obține nu este aceasta, ci aceasta.
Deci experimente de dezintegrare a particolelor mici cu timp de dezintegrare mici
confirmă teoria relativității restrânse și nu mecanica clasică.