Transcript: Extinderea modelului gazului ideal. Stările de agregare.

În ceea de a șaptea lecție de termodinamică vom continua și termina discuția noastră despre teoria cinetico-moleculară.
Să luăm în discuție o aplicație practică a teoriei cinetico-moleculare și anume legea Dalton din termodinamică.
În particular să considerăm două gaze amestecate care formează un sistem termodinamic.
Energia cinetică medie a amestecului de gaze va fi prin definiție, deci energia cinetică medie prin definiție este întotdeauna suma tuturor energiilor cinetice ale moleculilor sau atomilor din substanță,
unde, deci, N este numărul total de molecule provenind din cele două gaze amestecate împărțită la numărul de molecule.
Aceasta e definiția valoarii medii a oricărei parametru, în particular, în acest caz, energia cinetică a unei molecule.
Dar gazul nostru este format din amestecul de două gaze, deci numărul total de molecule va fi egal cu suma numelui de molecule individual.
Deci, energia cinetică medie va avea această formulă despărțită în sumele pe energii cinetice ale celor două gaze ce formează amestecul.
În continuare, această relație poate fi scrisă în felul următor, unde am folosit ecuația pentru energia cinetică a unui atom sau moleculă.
Energia cinetică este masa ori viteza la pătrat împărțit la 2.
Toate moleculele de același tip au aceeași masă, deci toate moleculele de tipul 1 vor avea masa M1, toate moleculele de tipul 2 vor avea masa M2,
dar vitezele lor, bineînțeles, vor fi diferite, toate moleculele au viteze diferite între ele.
În concluzie, suma se scrie în felul următor.
Și, bineînțeles, din definiția mediei unui parametru, din nou, deci aplicăm aceeași definiție ca cea pentru media energiei cinetice,
dar în acest caz pentru viteza la pătrat.
Și atunci putem scrie că energia cinetică medie este 1 pe N1 plus N2 îmulțit cu M1 pe 2,
iar această sumă va deveni N1 îmulțit cu media vitezei la pătrat a moleculelor de tipul 1.
Deci, din nou, am folosit faptul că, în acest caz, media vitezei la pătrat, prin definiție, este 1 supra N sumă din Vi pătrat, cu i de la 1 la N.
Și obținem această ecuație.
Apoi putem folosi ecuația generală pentru energia cinetică medie, care este 3 pe 2 constanta Boltzmann ori temperatura.
Aceasta este valabilă pentru orice tip de caz.
Această ecuație poate fi scrisă ca 3 pe 2 constanta universală a gazilor îmulțită cu temperatura împărțită la numărul lui Avogadro.
Aceasta din definiția constantei Boltzmann.
Și mai departe, folosind ecuația generală a gazilor, putem scrie această cantitate ca 3 pe 2 îmulțită cu produsul dintre presiune și volum împărțită la numărul de kilomoli îmulțit cu numărul lui Avogadro.
Din nou, aceasta rezultă din ecuația generală a gazilor, care spune că PV este egal cu nu RT.
Și în final, putem scrie ecuația cinetică medie a unei molecule ca fiind 3 pe 2 PV împărțit la numărul total de molecule.
Numărul de kilomoli îmulțit cu numărul lui Avogadro, prin definiție, este N, care este N1 plus N2.
Din aceste două ecuații, obținem că 3 pe 2 PV este egal cu 1 pe 2 îmulțit cu M1,
care este N1 V1 pătrat mediu plus M2 N2 V2 pătrat mediu.
Singurul lucru care l-am făcut în acest pas a fost să simplificăm 1 pe N1 plus N2, care este prezent în ambele părți ale egalității.
Rezulta imediat că PV, sau mai exact P direct, presiunea, deci putem simplifica 2 și obținem 1 pe 3,
iar în paranteză trebuie doar să mai împărțim cu volumul, iar numărul N1 împărțit la V va da N1 mic,
densitatea sau numărul de molecule pe unitatea de volum, deci avem N1 M1 V1 pătrat mediu plus N2 M2 V2 pătrat mediu.
În concluzie am demonstrat că P, presiunea totară, este egală cu presiunea parțială gazului 1 plus presiunea parțială gazului 2.
Acestea sunt 1 pe 3 N1 M1 V1 pătrat mediu, este exact P1 din ecuația fundamentală a teoriei cinetico-moleculare.
În concluzie am demonstrat legea Dalton, care în forma ei din termodinamică este ca și orice lege de termodinamică stabilită experimental,
care spune că într-un amestec de două gaze, presiunea totală e egală cu suma presiunilor parțiale
exercitate de fiecare componentă gazoasă în parte, independent de prezența celorlalte.
Numai că noi în cadrul teoriei cinetico-moleculare am demonstrat-o matematic.
Aceasta este valabilă pentru toate legile termodinamicii.
Ele sunt demonstrate experimental în termodinamică, dar sunt demonstrate teoretic în fizica statistică,
teoria cinetico-moleculară fiind un caz particular al fizicii statistici.
Alt subiect este legat de așa-numita viteză termică a gazului.
Din ecuația fundamentală a termodinamicii știm că P este egal cu 1P3 îmulțită cu densitatea gazului,
îmulțită cu media pătratului vitezii.
De aici rezultă că radical din media pătratului vitezii va fi radical din triplul presiunii împărțit la densitate.
Această cantitate se numește viteză termică a gazului.
Estimează de o cuantificare a gradului de agitație termică prezentă în gaz.
Interesant este dacă calculăm această cantitate, această viteză termică,
pentru un gaz de hidrogen aflat în condiții normale, adică o presiune egală cu o atmosferă,
care este 10 la 5 Pascal, și temperatura de 273 grade Kelvin, adică 0 grade Celsius,
putem măsura pentru acest gaz în aceste condiții de presiune și temperatură, care este densitatea, și obținem această valoare.
Înlocuind acești parametri în ecuația vitezei termice,
obținem o viteză termică surprinzător de mare, și anume de 1,8 km pe secundă.
Aceasta este viteza moleculilor de hidrogen în condiții normale de temperatură și presiune.
Ea inițial a fost considerată, greu de crezut, și considerată un test al teoriei cinetico-moleculare,
până când, într-adevăr, în 1920 a fost măsurată experimental și verificată că, într-adevăr, este atât de mare.
În concluzie, teoria cinetico-moleculară și modelul de la baza ei, care este modelul gazului ideal,
a fost verificat destul de extensiv și s-a tras concluzia că este un model bun.
Întrebarea este până la ce punct presupunerele, cele patru presupuneri sau ipoteze,
care stau la baza modelului gazului ideal, sunt corecte în realitate.
Deci, întrebarea se pune, în ce caz este necesar să extindem acest model al gazului ideal
pentru a-l face corect în realitate?
Asta din moment ce am văzut că, în multe cazuri, el, într-adevăr, funcționează.
Un prim răspuns l-am văzut deja, și anume, în cazul în care moleculele sau atomii au dimensiuni neneglijabile,
una din presupunere era că dimensiunile atomului sau, în particular, a moleculei,
pentru că ele sunt mai mari, sunt neglijabile.
Dar, bineînțeles, avem în multe situații, avem de-a face cu molecule suficient de mari
ca această presupunere să nu mai fie corectă.
Și, în acest caz, prima extindere a modelului gazului ideal
este considerarea unui număr de grade de libertate mai mare decât 3.
Vă aduc aminte, numărul de grade de libertate i era egal cu 3
dacă consideram numai coordonatele de translație ale mișcări, x, y și z.
Totuși, dacă molecula e suficient de mare,
atunci ea are și alte mișcări în interiorul gazului decât translația.
Spre exemplu, se poate roti în jurul axei proprii.
Deci, putem considera, spre exemplu, rotația moleculelor.
Iar, pentru un anumit tip de rotație, și anume cea cu o axă rigidă,
cu distanța dintre atomii molecule rigide, y va fi egal cu 5.
Putem considera și alte tipuri de mișcări ale moleculei
și atunci trebuie să creștem acest număr de grade de libertate în consecință.
O extensie mai semnificativă a modelului gazul ideal
are legătură cu distanța dintre molecule.
Dacă vă aduceți aminte, o altă presupunere din modelul gazului ideal
era că distanța dintre molecule este mult mai mare decât dimensiunea molecului.
Evident, pentru gazele aflate la presiune joasă, aceasta este adevărat,
dar odată ce creștem presiunea gazului și cu atât mai mult
odată ce considerăm lichide sau solide,
atunci distanța dintre molecule devine comparabilă cu dimensiunea molecului,
care este de ordinul 1 nanometru.
Deci 1 nanometru este nanometru.
Este de ordinul 10 la minus 9 metri.
În acest caz, nu mai putem considera că nu există interacțiuni între molecule.
Deci, în acest caz, trebuie să introducem, să extindem modelul gazului
introducând forțe de interacție dintre molecule.
Aceste forțe de interacție au fost măsurate și calculate.
Ele sunt destul de complexe, având atât o componentă repulsivă de respingere,
F R, cât și o componentă de atracție, F A.
Forma lor generală este invers proporțională cu o putere a distanței
și, bineînțeles, semnul forței este dat de tipul ei.
O forță atractivă este negativă, o forță repulsivă este pozitivă.
Ca să reprezentăm grafic, rezultă că forțele de interacție dintre molecule
au această formă generală, deci forța ca funcție de distanță, distanța intramoleculară.
Deci, ea are un minim și apoi tinde către zero.
Cele două componente ale ei, fiind una repulsivă, acesta este F R,
și una atractivă, care este negativă, F A.
Câteva comentarii, observăm că la distanțe foarte mici forța repulsivă domină
și deci moleculele se resping.
La distanțe mari forța atractivă domină și atunci moleculele încep să se atragă.
Există o distanță pe care o notăm cu R zero în care cele două devin comparabile
și forța are un caracter mai complex.
Această forță, care este de natură electromagnetică, este o forță conservativă.
Aceasta, dacă vă aduceți aminte din lecția de dinamică în care am discutat forțe conservative,
înseamnă că variația energiei potențiale este egală cu lucru mecanic,
deci este egal cu produsul dintre forța F intramoleculară și deplasarea produsă de ea.
Aceasta înseamnă că energia potențială va avea o formă similară cu forța,
deci energia potențială ca funcție de distanța R intramoleculară
va avea și ea un minim și apoi va tinde către zero.
Minimul se află la aceiași poziție, R zero, și îl notăm cu E p zero.
E p zero este, dacă vreți, adâncimea acestei grochi.
Faptul că există o asemenea groapă de potențial, adică energia potențială are această regiune pe care o înconjor acum,
este foarte semnificativ pentru că se demonstrează că prezența unei așa numite gropi de potențial ca aceasta
duce la stări legate.
Asta înseamnă că dacă energia cinetică a moleculelor este comparabilă cu mărimea acestei gropi,
adică cu E p zero,
atunci moleculele care se află la distanțe comparabile cu R zero
nu mai sunt libere, ci sunt legate între ele prin aceste forțe de interacție.
Deci, o groapă de potențial cu anumita adâncime va duce la stări legate pentru moleculele ce se află la distanțe comparabile cu acest R zero.
Aceasta ne permite să devenim mult mai cantitativi în descrierea noastră a stărilor de agregare
și să putem spune că dacă energia cinetică a medie a unei molecule,
care după cum am văzut este KBT împărțit la 2,
dacă această energie cinetică medie este mult mai mare decât energia potențială,
decât minimul energiei potențială, adică de mărimea acestei gropi de potențial,
atunci mișcarea cinetică sau agitația termică domină interacțiile din sistem,
moleculele devin libere, se rup din aceste legături potențiale,
devin libere și atunci avem de a face cu un gaz.
Deci un gaz este, dacă vreți, un sistem termodinamic
în care energia cinetică dată de agitația termică domină interacțiile,
date de forțele de interacțiune dintre molecule.
Dacă această energie potențială, groapa de potențial, adâncimea ei,
este comparabilă cu energia cinetică medie,
atunci avem, dacă vreți, o luptă pe picior de egalitate
între cele două tipuri de fenomene, obținând un lichid.
Lichidul este substanța în care moleculele încă se pot mișca
pentru că au suficientă energie cinetică comparată cu interacția,
cu forța de interacție dintre ele.
Deci se pot mișca, dar o pot face numai condiționat sau constricționat.
Mișcarea lor nu este liberă, ca în cazul gazului.
Și ultimul caz este în care, bineînțeles, energia potențială, groapa,
adâncimea acestei energiei potențiale de interacție,
este mult mai mare decât energia cinetică medie,
care vine din agitația termică.
Caz în care avem astfel de stări legate,
moleculele nu se mai mișcă decât eventual au mișcări de vibrație,
dar nu mai au mișcări de translație,
iar acesta este, după cum știm, un solid.
Într-o stare solidă, moleculele sau atomii se află în poziții fixe,
în care eventual pot vibra în jurul acelor poziții,
dar nu mai există mișcare liberă.