Transcript: Convenţia de semn. Formulele Newton şi Descartes pentru imagini în lentile.

În cea de-a cincia lecție de Optică Geometrică vom deduce formulele lentillor Newton și Descartes.
Întâi să prezentăm convenția de semn folosită în aceste formule.
Ceea ce vedeți este schema formării imaginii unui obiect AB într-o lentilă convergentă.
Convenția de semn stipulează că distanțele sunt algebrice, adică au un semn, plus sau minus.
Mai puțin, distanțele focale, pentru care folosim convenția că distanța focală imaginei F' este pozitivă în lentile convergente și negativă în lentile divergente.
Felul în care stabilim semnul distanțelor este următor.
Pentru coordonata verticală alegem un sens pozitiv pentru distanța obiectului, pentru înălțimea obiectului,
iar pentru coordonata orizontală alegem un sens pozitiv distanțelor care au același sens cu cel al propagării razelor de lumină.
Spre exemplu, dacă știm că obiectul are o înălțime de, să zicem, 5 centimetri, vom folosi un semn plus în fața acestei distanțe.
Dacă știm că imaginea A'B' are o înălțime, să zicem, de 3 centimetri, o vom lua cu semnul minus, pentru că A'B' are sens invers obiectului AB.
Pe coordonata orizontală, dacă știm că obiectul se află într-o poziție OA de 10 centimetri față de lentilă,
vom lua această distanță cu semnul minus, pentru că OA are sensul invers razelor de lumină.
Dacă știm că imaginea se află la o poziție OA de, să zicem, 15 centimetri de lentilă,
vom lua această distanță cu semnul plus, pentru că OA are același sens ca cel al razelor de lumină.
De ce procedăm așa? Poate părea ca o complicație, dar de fapt ea este o mare simplificare a formulelor,
pentru că cu ajutorul convenției de semn putem deduce formule generale.
Veți vedea, vom avea un set de formule pentru toate cazurile particulares.
Ca să fiu mai specific, ce s-ar întâmpla dacă nu am avea aceste convenții de semn?
Spre exemplu, în acest caz particular care îl avem în schema noastră, putem scrie că AF plus FO este egal cu AO,
luând în considerare numai distanțe fără niciun semn.
Dacă, în schimb, am avea un alt caz particular, să zicem cel în care obiectul AB ar fi între centrul optic al lentilei și focarul principal imaginei,
atunci această relație nu ar mai fi adevărată și, în loc, ar trebui să scriem AF plus AO este egal cu FO.
Și, în felul acesta, ar trebui să deducem câte un set de formule pentru fiecare caz particular.
Și avem foarte multe cazuri particulares de construcții de imagini în lentile.
Convergente, divergente, diferite poziții, diferite tipuri de obiecte, reale, virtuale și așa mai departe.
Acesta este motivul pentru care se folosește convenția de semn.
Să continuăm acum cu deducerea formulei Newton.
Începem prin a introduce următorii doi parametri.
FA se notează cu X și F'' se notează cu X'.
Acestea ar fi pozițiile obiectului față de focarul principal obiect și al imaginii față de focarul principal imaginii.
Datorită faptului că triunghiul ABF este asemănător cu triunghiul OJF,
deci triunghiul ABF este asemănător cu triunghiul OJF,
putem scrie următoarele relații de proporționalitate.
AB supra OJ este egal cu FA supra FO.
Dar OJ este egal cu A'B' pentru că raza refractată cu roșu este paralelă cu axa optică principală.
Și FO este egal cu F' cu sensul razelor de lumină, deci are semn pozitiv.
Deci rezultă că AB împărțit la A'B' este egal cu X împărțit la F'.
Considerând triunghiurile A'B'F' și OIF' putem vedea că ele sunt asemănătoare.
A'B'F' este asemănător cu OIF', au unghiurile egale.
Și atunci putem scrie relațiile de proporționalitate.
A'B' împărțit la OI este egal cu F'A' împărțit la F'O.
OI este egal cu AB pentru că raza incidentă albastră este paralelă cu axa optică principală.
Și F'O este egal cu minus distanța focală F' pentru că are sensul opus razelor de lumină.
Deci de aici putem scrie că AB împărțit la A'B' este egal cu minus F' împărțit la X'.
Din nou, semnul minus apare din F'O, care are sensul invers razelor de lumină.
Combinând aceste două relații, putem scrie...
Deci această relație combinată cu această relație
implică că X îmulțit cu X' este egal cu minus F' la pătrat.
De asemeni, introducând un nou parametru beta numit mărirea liniară
ca raportul dintre înălțimea imaginii și înălțimea obiectului,
putem scrie că el este egal cu F' împărțit la X
sau minus X' împărțit la F'.
Această formulă se numește formula Newton
și este acompaniată de o formulă corespunzătoare pentru mărirea liniară.
Înainte de a trece la deducerea formulei Descartes,
câteva lucruri importante despre mărirea liniară beta.
Beta este definit ca A'B' împărțit la AB
și în mod evident descrie raportul dintre înălțimea imaginii și înălțimea obiectului.
A contine următoarele informații importante.
Dacă beta este mai mare decât 0,
atunci, în mod evident, imaginea este dreaptă.
Pentru că asta înseamnă că avem același semn al imaginii cu al obiectului,
ceea ce înseamnă că au același sens.
Dacă beta este mai mic decât 0, atunci imaginea este răsturnată.
Dacă modulului beta este mai mic decât 1,
în mod evident, imaginea este mai mică.
Și dacă modulului beta este mai mare decât 1,
imaginea este mai mică.
Deci calculând valoarea lui beta,
putem să extragem mai multe proprietăți ale imaginii în raport cu obiectul.
Să trecem la deducerea formulei de cart.
Vom folosi aceeași schemă ca aceea precedentă.
Notăm OA, deci poziția obiectului, cu P
și OA', deci poziția imaginii, cu P'.
Atunci putem scrie că X, care reamintesc prin definiție este FA,
este egal cu FO plus OA.
Reamintesc, când scriem aceste relații,
folosim distanțe algebrice, deci ele conțin un semn.
Fără acest semn, în mod evident, în cazul schemei precedente,
această relație nu ar fi adevărată.
Ea devine adevărată inclusând semnele.
Care este egal cu F' plus P.
Pentru X', care reamintesc este definit ca F'A,
din nou algebric, deci conține semn,
este egal cu FO plus OA'.
Același comentariu, toate distanțele conțin un semn
și numai așa relațiile devin adevărate,
ținând cont de semnul lor.
Care este egal în continuare cu minus F' plus P'.
Și deci putem folosi relația Newton
pentru a scrie că X mulțit cu X'
din aceste ecuații va fi egal cu F' plus P
înmulțit cu minus F' plus P'
și egal din relația Newton,
demonstrată mai devreme,
cu minus F' la pătrat.
Această ultimă egalitate este relația Newton.
Deci putem deduce de aici
că minus P' plus P' F'
plus P' egal cu 0.
Am rezolvat această înmulțire
și apoi am scris explicit ultima egalitate
în această formă.
Împărțind această ecuație prin P F' P'
obținem că 1 împărțit la P'
minus 1 supra P
este egal cu 1 P F'.
Această ecuație se numește relația Descartes
și este acompaniată
cu o formulă pentru mărirea lineară
care este definită ca A' B'
împărțit la AB
și care este egal cu 1 P'
în contextul noilor parametri P'
cu raportul dintre P' și P.